2010-福建卷文-12 单-集合新定义命题判定

本题导读

考查新定义集合。①$S=\{1\}$、②$\frac{1}{4}⩽l⩽1$、③$-\frac{\sqrt{2}}{2}⩽m⩽0$ 均正确，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 设非空集合 $S=\{x\mid m⩽x⩽l\}$ 满足：当 $x\in S$ 时，有 $x^2\in S$. 给出如下三个命题： ①若 $m=1$，则 $S=\{1\}$； ②若 $m=-\frac{1}{2}$，则 $\frac{1}{4}⩽l⩽1$； ③若 $l=\frac{1}{2}$，则 $-\frac{\sqrt{2}}{2}⩽m⩽0$. 其中正确命题的个数是()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. ①：$m=1$ 时 $x⩾1$，$x^2⩾x$。若 $l>1$，取 $x=l$，$l^2>l$ 与 $x^2⩽l$ 矛盾，故 $l=1$，$S=\{1\}$。
2. ②：$m=-\frac{1}{2}$ 时 $x\in \left[-\frac{1}{2},l\right]$。$x=-\frac{1}{2}$ 给出 $x^2=\frac{1}{4}\in S\Rightarrow l⩾\frac{1}{4}$；$x=l$（$l>0$）给出 $l^2⩽l\Rightarrow l⩽1$。
3. ③：$l=\frac{1}{2}$ 时，若 $m>0$，取 $x=m$，$x^2=m^2<m$（$0<m<1$）不属于 $S$，矛盾，故 $m⩽0$；又 $x\in [m,0]$ 时 $x^2⩽m^2$，需 $m^2⩽\frac{1}{2}$，得 $m⩾-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
4. 三条都正确。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

①若 $m=1$，则 $x⩾1$，$x^2⩾x$. 若 $l>1$，取 $x=l\in S$，则 $l^2>l$，与 $x^2\in S$ 即 $x^2⩽l$ 矛盾，故 $l=1$，$S=\{1\}$，①正确. ②若 $m=-\frac{1}{2}$，则 $x\in \left[-\frac{1}{2},l\right]$. 由 $x=-\frac{1}{2}\in S$ 得 $x^2=\frac{1}{4}\in S$，故 $l⩾\frac{1}{4}$； 当 $0⩽x⩽l$ 时需 $x^2⩽l$ 对一切成立，即 $l^2⩽l$，得 $l⩽1$. 故 $\frac{1}{4}⩽l⩽1$，②正确. ③若 $l=\frac{1}{2}$，则 $S=\left[m,\frac{1}{2}\right]$，非空要求 $m⩽\frac{1}{2}$. 若 $m>0$，取 $x=m\in S$，则 $x^2=m^2<m$（因 $0<m⩽\frac{1}{2}<1$），即 $x^2\notin S$，矛盾，故 $m⩽0$； 当 $m⩽x⩽0$ 时，$x^2\in \left[0,m^2\right]$，需 $x^2⩽\frac{1}{2}$ 对一切成立，即 $m^2⩽\frac{1}{2}$，得 $m⩾-\frac{\sqrt{2}}{2}$； 当 $0⩽x⩽\frac{1}{2}$ 时，$x^2\in \left[0,\frac{1}{4}\right]\subseteq \left[m,\frac{1}{2}\right]$ 恒成立. 综上 $-\frac{\sqrt{2}}{2}⩽m⩽0$，③正确. 三个命题都正确，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合新定义与命题判定

核心方法："$x\in S\Rightarrow x^2\in S$"对区间两端逐一施压，反证排除

避坑指南：取 $x=l$ 得 $l^2⩽l$（当 $l>0$），取 $x=m$ 得 $m^2⩾m$ 或矛盾分支，端点是全部信息来源；②中 $\frac{1}{4}⩽l$ 由 $x=-\frac{1}{2}$ 的平方给出，别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：自洽型新定义集合题：条件的”最紧处”一定在区间端点取到。

结论推广：②③的证明都是”取特殊元素施压 + 一般元素验证”两步走。

方法推广：判断命题个数时逐条独立验证，结论”全对”也要写全三条理由。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-12 单-min新定义最值
• 2009-北京卷文-14 填-新定义孤立元
• 2011-福建卷文-16 填-等比中项新定义
• 2014-天津卷文-20 解-集合新定义