2011-福建卷文-16 填-等比中项新定义

本题导读

本题考查等比中项，以及新定义背景。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 商家通常依据”乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 $a$，最高销售限价 $b$（$b>a$）以及实数 $x$（$0<x<1$）确定实际销售价格 $c=a+x(b-a)$.这里，$x$ 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数 $x$ 恰好使得 $(c-a)$ 是 $(b-c)$ 和 $(b-a)$ 的等比中项.据此可得，最佳乐观系数 $x$ 的值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：把 $c-a=x(b-a)$、$b-c=(1-x)(b-a)$ 代入等比中项条件
2. 步骤2：解 $x^2=1-x$

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

记 $d=b-a>0$，则 $c-a=xd$，$b-c=(1-x)d$。

$(c-a)$ 是 $(b-c)$ 与 $(b-a)$ 的等比中项，即 $(c-a{)}^2=(b-c)(b-a)$：

$x^2{d}^2=(1-x)d\cdot d=(1-x)d^2$。

因 $d>0$，约去 $d^2$：$x^2=1-x$，即 $x^2+x-1=0$。

解得 $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$，由 $0<x<1$ 舍去负根，故 $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比中项的条件列式；换元消参；根的取舍

核心方法：三个量都用 $d=b-a$ 与 $x$ 表示，把”新定义”翻译成一个纯 $x$ 的方程

避坑指南：等比中项列式是 $(c-a{)}^2=(b-c)(b-a)$，别写成 $c-a=(b-c)(b-a)$ 或漏平方；$0<x<1$ 是舍根依据，黄金比的正根约 $0.618$，负根 $\approx -1.618$ 必舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比中项新定义题与 2013-江西卷理-03、2015-广东卷文-13、2013-山东卷文-16 同族。

结论推广：推广：方程 $x^2=1-x$ 的正根即黄金分割比 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；本题是黄金比的一次实际背景呈现——“中点偏乐观”的定价直觉恰与黄金比吻合。

方法推广：新定义填空：把所有量归约到 $x$（必要时引入辅助量 $d$），列方程后按附加范围取舍根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-03 单-等比中项
• 2015-广东卷文-13 填-等比中项
• 2013-山东卷文-16 填-正对数新定义