2010-福建卷文-21 解-航行相遇解三角形应用

本题导读

考查解三角形应用。$d^2(t)=900{\left(t-\frac{1}{3}\right)}^2+300$，最小航速 $30\sqrt{3}$；$t\in (0,\frac{1}{2}]$ 上 $v^2(t)$ 递减，$v_{\min }=10\sqrt{13}$；两方向相遇 $⟺15\sqrt{3}<v<30$。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 某港口 $O$ 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口 $O$ 北偏西 $30^{\circ }$ 且与该港口相距 $20$ 海里的 $A$ 处，并以 $30$ 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 $v$ 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 $t$ 小时与轮船相遇.

(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2) 为保证小艇在 $30$ 分钟内（含 $30$ 分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；

(3) 是否存在 $v$，使得小艇以 $v$ 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 $v$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $O$ 为原点、正东为 $x$ 轴：$A(-10,10\sqrt{3})$，$t$ 小时后轮船 $M(-10+30t,10\sqrt{3})$。
2. (1) $d^2(t)=900t^2-600t+400=900{\left(t-\frac{1}{3}\right)}^2+300$，$t=\frac{1}{3}$ 时 $d=10\sqrt{3}$，$v=\frac{d}{t}=30\sqrt{3}$。
3. (2) $v^2(t)=\frac{d^2(t)}{t^2}=900-\frac{600}{t}+\frac{400}{t^2}$，导数 $\frac{600t-800}{t^3}$ 在 $0<t⩽\frac{1}{2}$ 上小于 $0$，递减，$t=\frac{1}{2}$ 时最小；$d\left(\frac{1}{2}\right)=5\sqrt{13}$，$v_{\min }=10\sqrt{13}$。
4. (3) 相遇方程 $(v^2-900)t^2+600t-400=0$ 有两个不同正根： $\Delta =1600(v^2-675)>0\Rightarrow v>15\sqrt{3}$；$t_1{t}_2=\frac{-400}{v^2-900}>0\Rightarrow v<30$（两根和 $-\frac{600}{v^2-900}>0$ 自动满足）。
5. 故 $15\sqrt{3}<v<30$。

✅【答案】

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(1) $30\sqrt{3}$ 海里/小时

(2) $10\sqrt{13}$ 海里/小时

(3) 存在，$15\sqrt{3}<v<30$

✍【详细解析】

Abstract

以港口 $O$ 为原点，正东方向为 $x$ 轴正向，正北方向为 $y$ 轴正向. 由 $A$ 位于 $O$ 北偏西 $30^{\circ }$ 且 $OA=20$，得 $A(-10,10\sqrt{3})$. 经过 $t$ 小时，轮船的位置为 $M(-10+30t,10\sqrt{3})$（$t>0$）. (1) 小艇的航行距离 $d(t)=\sqrt{(-10+30t{)}^2+300}=\sqrt{900t^2-600t+400}.$ 因为 $d^2(t)=900{\left(t-\frac{1}{3}\right)}^2+300$，所以 $t=\frac{1}{3}$ 时航行距离最小，此时 $d=10\sqrt{3}$， 故小艇的航行速度为 $v=\frac{d}{t}=\frac{10\sqrt{3}}{1/3}=30\sqrt{3}$ 海里/小时. (2) 若在时刻 $t$ 相遇，所需速度 $v(t)=\frac{d(t)}{t}$， $v^2(t)=900-\frac{600}{t}+\frac{400}{t^2}.$ 在 $0<t⩽\frac{1}{2}$ 时，${\left[v^2(t)\right]}^{\prime }=\frac{600t-800}{t^3}<0$，所以 $v^2(t)$ 在该区间上递减，最小值在 $t=\frac{1}{2}$ 时取得. 此时 $d\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{900{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)}^2+300}=\sqrt{325}=5\sqrt{13}$， 故 $v_{\min }=\frac{5\sqrt{13}}{1/2}=10\sqrt{13}$ 海里/小时. (3) 固定速度 $v$，相遇条件为 $v^2{t}^2=d^2(t)$，即 $(v^2-900)t^2+600t-400=0.$ 要有两个不同的正根：首先判别式 $\Delta =600^2-4(v^2-900)(-400)=1600(v^2-675)>0,$ 得 $v^2>675$，即 $v>15\sqrt{3}$； 其次两根之积 $\frac{-400}{v^2-900}$ 为正，必须 $v^2<900$，即 $v<30$； 此时两根之和 $-\frac{600}{v^2-900}$ 也为正，两根确实都是正数. 于是存在两种不同航行方向的充要条件为 $15\sqrt{3}<v<30$，即 $v$ 的取值范围为 $(15\sqrt{3},30)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形应用：相遇问题

核心方法：建系写出双方位置，距离平方配方求最小；速度平方对 $t$ 的单调性定限时最小；两正根转判别式与韦达

避坑指南：$A(-10,10\sqrt{3})$ 来自北偏西 $30^{\circ }$：北偏西是第二象限，横坐标为负；$v^2(t)$ 的导数 $\frac{600t-800}{t^3}$ 在 $t⩽\frac{1}{2}$ 上恒负，别漏符号说明；(3) 中两根为正需要积、和两个条件，只查判别式会多出 $v>30$ 的伪解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：追及相遇问题的通法：同一时刻写出双方坐标，距离（或距离比）化为 $t$ 的函数。

结论推广：$d^2(t)$ 配方比 $d(t)$ 求导更简洁，两者等价。

方法推广：“两种不同航行方向”的数学翻译：关于 $t$ 的方程有两个不同正根，方向数 = 根的个数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-18 解-仰角测量解三角形
• 2009-新课标卷文-17 解-海域测量向量夹角
• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2009-福建卷文-07 单-解三角形面积求角