2010-辽宁卷文-02 单-复数相等求参

本题导读

考查复数运算。$(a-b)+(a+b)\mathrm{i}=1+2\mathrm{i}$，解得 $a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 设 $a,b$ 为实数，若复数 $\frac{1+2\mathrm{i}}{a+b\mathrm{i}}=1+\mathrm{i}$，则()

A. $a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}$　　　B. $a=3,b=1$　　　C. $a=\frac{1}{2},b=\frac{3}{2}$　　　D. $a=1,b=3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化为 $1+2\mathrm{i}=(1+\mathrm{i})(a+b\mathrm{i})$。
2. 展开：$(a-b)+(a+b)\mathrm{i}$。
3. $a-b=1$，$a+b=2$。
4. $a=\frac{3}{2}$，$b=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{1+2\mathrm{i}}{a+b\mathrm{i}}=1+\mathrm{i}$，得 $1+2\mathrm{i}=(1+\mathrm{i})(a+b\mathrm{i})=(a-b)+(a+b)\mathrm{i}.$ 比较实部与虚部： $\{\begin{array}{l}a-b=1,\\ a+b=2,\end{array}$ 解得 $a=\frac{3}{2}$，$b=\frac{1}{2}$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数相等与四则运算

核心方法：去分母展开后比较实部虚部

避坑指南：$(1+\mathrm{i})(a+b\mathrm{i})$ 展开为 $(a-b)+(a+b)\mathrm{i}$，实部虚部不要对应错；本题是两方程解两未知数的常规操作。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数相等 $⟺$ 实部虚部分别相等，是复数中求参数的总开关。

结论推广：除法问题先化为乘法（两边同乘分母），避免直接做分式。

方法推广：$a,b$ 为实数是列方程的前提，注意与 $a,b$ 为虚数情形的区别。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-02 单-复数相等
• 2012-湖北卷文-12 填-复数相等
• 2009-安徽卷文-01 单-复数代数运算
• 2009-天津卷文-01 单-复数除法