2010-辽宁卷文-04 单-量词命题与二次函数最值

本题导读

考查量词命题真假。$f(x_0)$ 为最小值，“任意 $x$ 都有 $f(x)⩽f(x_0)$“为假，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 已知 $a>0$，函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$.若 $x_0$ 满足关于 $x$ 的方程 $2ax+b=0$，则下列选项的命题中为假命题的是()

A. $\exists x\in \mathbf{R}$，$f(x)⩽f(x_0)$　　　　　　　　　　　　B. $\exists x\in \mathbf{R}$，$f(x)⩾f(x_0)$

C. $\forall x\in \mathbf{R}$，$f(x)⩽f(x_0)$　　　　　　　　　　　　D. $\forall x\in \mathbf{R}$，$f(x)⩾f(x_0)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x_0=-\frac{b}{2a}$ 是抛物线对称轴与 $x$ 轴的交点横坐标。
2. $a>0$，开口向上，$f(x_0)$ 是最小值。
3. A、B、D 均为真；C 断言 $f(x_0)$ 是最大值，为假。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $2a{x}_0+b=0$ 得 $x_0=-\frac{b}{2a}$， 即 $x_0$ 是抛物线顶点（对称轴）处的横坐标。 因为 $a>0$，抛物线开口向上， $f(x)⩾f(x_0)\text{对一切 }x\in \mathbf{R}\text{ 成立},$ 故 D 真、C 假； 取 $x=x_0$ 知 A、B 均真。 故假命题为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含量词命题的真假判断

核心方法：先求 $x_0$（顶点横坐标），再逐选项对照最值性质

避坑指南：$x_0$ 满足 $2ax+b=0$ 即 $x_0=-\frac{b}{2a}$，这正是对称轴；开口向上时 $f(x_0)$ 是最小值，“任意 $x$ 都有 $f(x)⩽f(x_0)$“把它说成了最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\exists$ 为真找一例，$\forall$ 为假找一反例。

结论推广：二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 的顶点横坐标 $-\frac{b}{2a}$ 恰是 $f^{\prime }(x)=2ax+b$ 的零点。

方法推广：特称命题”存在 $x$ 使 $f(x)⩽f(x_0)$“取 $x=x_0$ 即真。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-11 单-量词与指对真命题
• 2009-江西卷文-01 单-命题真假判断
• 2012-辽宁卷文-05 单-全称命题的否定
• 2009-江苏卷-20 解-绝对值二次函数