2010-辽宁卷文-12 单-切线倾斜角范围

本题导读

考查切线斜率范围。$y^{\prime }=-\frac{4{\mathrm{e}}^x}{({\mathrm{e}}^x+1{)}^2}\in [-1,0)$，故 $\alpha \in \left[\frac{3\pi }{4},\pi \right)$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 已知点 $P$ 在曲线 $y=\frac{4}{{\mathrm{e}}^x+1}$ 上，$\alpha$ 为曲线在点 $P$ 处的切线的倾斜角，则 $\alpha$ 的取值范围是()

A. $\left[0,\frac{\pi }{4}\right)$　　　　B. $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$　　　　C. $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right]$　　　　D. $\left[\frac{3\pi }{4},\pi \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=-\frac{4{\mathrm{e}}^x}{({\mathrm{e}}^x+1{)}^2}<0$。
2. $({\mathrm{e}}^x+1{)}^2⩾4{\mathrm{e}}^x$，故 $|y^{\prime }|⩽1$。
3. $-1⩽\tan \alpha <0$。
4. $\alpha \in \left[\frac{3\pi }{4},\pi \right)$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

求导： $y^{\prime }=\frac{-4{\mathrm{e}}^x}{({\mathrm{e}}^x+1{)}^2}.$ 令 $t={\mathrm{e}}^x>0$，则 $|y^{\prime }|=\frac{4t}{(t+1{)}^2}⩽\frac{4t}{4t}=1,$ 其中 $(t+1{)}^2⩾4t$（基本不等式，$t=1$ 时取等号）。 又 $y^{\prime }<0$，故切线斜率 $-1⩽\tan \alpha <0,$ 所以 $\alpha \in \left[\frac{3\pi }{4},\pi \right)$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数求切线斜率的取值范围

核心方法：导数化为 ${\mathrm{e}}^x$ 的分式，基本不等式定上界

避坑指南：$(t+1{)}^2⩾4t$ 的取等条件 $t=1$（即 $x=0$）能取到，故 $-1$ 端点为闭；斜率恒负排除 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 的两个选项，倾斜角必须在第二象限角范围取。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：倾斜角 $\alpha \in [0,\pi )$，$\tan \alpha$ 为负时 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$。

结论推广：分式型函数 $\frac{t}{(t+1{)}^2}$ 求最值，基本不等式与导数两路都通。

方法推广：斜率范围到角范围的转换画正切图象最直观。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-21 解-导数切线单调与放缩
• 2009-浙江卷文-21 解-导数切线与单调性
• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-江苏卷-09 填-切线求点