2010-辽宁卷文-22 解-角平分线与相似

本题导读

考查几何证明选讲。(1) $\angle BAE=\angle DAC$，$\angle ABE=\angle ADC$，故 $△ABE\sim △ADC$；(2) $\sin \angle BAC=1$，$\angle BAC=90^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） （选修 4-1：几何证明选讲） 如图，$△ABC$ 的角平分线 $AD$ 的延长线交它的外接圆于点 $E$.

(1) 证明：$△ABE\sim △ADC$；

(2) 若 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}AD\cdot AE$，求 $\angle BAC$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 角平分线：$\angle BAE=\angle DAC$。
2. 圆内接四边形：$\angle ABE$ 与 $\angle ACE$ 互补，结合圆周角 $\angle AEC=\angle ABC$ 推出 $\angle ABE=\angle ADC$。
3. 相似得 $\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$，即 $AD\cdot AE=AB\cdot AC$。
4. $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin \angle BAC=\frac{1}{2}AD\cdot AE=\frac{1}{2}AB\cdot AC$，故 $\sin \angle BAC=1$。

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) $\angle BAC=90^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 记 $\angle BAC=A$，$\angle ABC=B$，$\angle ACB=C$。 因为 $AD$ 是角平分线，$A,D,E$ 共线， $\angle BAE=\angle DAC=\frac{A}{2}.$ 又 $A,B,C,E$ 四点共圆，$B,C$ 在弦 $AE$ 的两侧， $\angle ABE=\pi -\angle ACE.$ 在 $△ACE$ 中，$\angle CAE=\frac{A}{2}$，由圆周角定理 $\angle AEC=\angle ABC=B$， 故 $\angle ACE=\pi -\frac{A}{2}-B$，从而 $\angle ABE=\frac{A}{2}+B.$ 另一方面，$\angle ADC$ 是 $△ABD$ 的外角： $\angle ADC=\angle ABD+\angle BAD=B+\frac{A}{2}.$ 所以 $\angle ABE=\angle ADC$，又 $\angle BAE=\angle DAC$， 故 $△ABE\sim △ADC$。 (2) 由 (1) 的相似关系： $\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AD\cdot AE=AB\cdot AC.$ 又 $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin \angle BAC,S=\frac{1}{2}AD\cdot AE=\frac{1}{2}AB\cdot AC,$ 两式比较（$AB\cdot AC>0$）： $\sin \angle BAC=1.$ 由 $0<\angle BAC<\pi$，得 $\angle BAC=90^{\circ }.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆中的相似证明

核心方法：角平分线给等角，圆周角定理与圆内接四边形补出第二组等角

避坑指南：$\angle ABE$ 是圆内接四边形中 $\angle ACE$ 的补角（$B,C$ 在弦 $AE$ 两侧），方向写反会导致角度关系全错；相似对应顺序 $△ABE\sim △ADC$ 要与顶点对应一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆周角定理：同弧所对圆周角相等。

结论推广：角平分线 $+$ 外接圆是几何证明选讲的经典配置，$AD\cdot AE=AB\cdot AC$ 是高频结论。

方法推广：面积条件与相似边比例联立，是”形”转”数”的常规接口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.07 角平分线模型

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-22 解-四点共圆与角平分线
• 2009-天津卷文-11 填-相似与外接圆直径
• 2012-新课标卷文-22 解-圆与相似三角形
• 2012-辽宁卷文-22 解-圆的切线与相似