2010-辽宁卷理-08 单-三角

本题导读

本题考查平面向量数量积的坐标与几何性质，重点在于将三角形面积公式用向量的数量积和模长进行代数表示。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理8）平面上 $O,A,B$ 三点不共线，设 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$，则 $\Delta OAB$ 的面积等于()

A. $\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}$　　　　　　　　　B. $\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}$

C. $\frac{1}{2}\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}$　　　　　　　　D. $\frac{1}{2}\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$（其中 $\theta$ 为向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角）。
2. 由同角三角函数基本关系 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ 将 $\sin \theta$ 换为 $\cos \theta$。
3. 利用 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ 将式子化简为含模长与数量积的形式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 设向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta (\theta \in (0,\pi ))$。

根据三角形面积公式： $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$

因为 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$，代入可得： $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\frac{1}{2}\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2(1-{\cos }^2\theta )}$ $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2{\cos }^2\theta }$

又因为 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$，所以： $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}$

故选 C>

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形面积公式的向量表示形式（赫伦-秦九韶公式的向量等价形式）。
2. 核心方法：三角恒等变换与向量数量积定义公式联合推导。
3. 避坑指南：注意系数 $\frac{1}{2}$ 位于根号外部，切勿漏掉三角形面积的前置系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于平面向量的几何应用，是解析几何中用向量表示平行四边形/三角形面积的标准恒等式。
2. 结论推广：若设 $\mathbf{a}=(x_1,y_1),\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，则该公式展开后等价于 $S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-15 解-向量与解三角形
• 2013-陕西卷文-18 解-向量与三角最值
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程