2010-辽宁卷理-18 解-古典概型

本题导读

本题结合医学统计背景，综合考查古典概型的计算、频率分布直方图的绘制与中位数估算，以及独立性检验（$K^2$ 检验）的实际应用。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） 为了比较注射 A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200 只家兔做试验，将这 200 只家兔随机地分成两组，每组 100 只，其中一组注射药物 A，另一组注射药物 B.

(1)甲、乙是 200 只家兔中的 2 只，求甲、乙分在不同组的概率；

(2)下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果.（疱疹面积单位：${\text{mm}}^2$）

表 1：注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积	[60, 65)	[65, 70)	[70, 75)	[75, 80)
频数	30	40	20	10

表 2：注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积	[60, 65)	[65, 70)	[70, 75)	[75, 80)	[80, 85)
频数	10	25	20	30	15

① 完成频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

② 完成下面 $2\times 2$ 列联表，并回答是否有 99.9% 的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.

	疱疹面积小于 $70{\text{ mm}}^2$	疱疹面积不小于 $70{\text{ mm}}^2$	合计
注射药物 A	$a=$	$b=$
注射药物 B	$c=$	$d=$
合计			$n=$

附：$K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^2\ge k)$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：可先固定家兔甲在其中一组，剩下 199 个位置中，另一组包含 100 个位置，直接利用条件概率求得乙在另一组的概率。
2. 第（2）①问：计算每个小矩形的“高 = $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$”（组距均为 5，总频数均为 100）。根据频率分布判断各自中位数所在区间并比较大小。
3. 第（2）②问：按频数统计填入 $2\times 2$ 列联表，代入 $K^2$ 公式求出统计量，与临界值 $10.828$ 进行比较判定。

✅【答案】

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（1）将甲所在的组分为第1组或第2组分别计算，得甲、乙分在不同组的概率为2×100200×100

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）甲、乙分在不同组的概率： 设家兔甲已被分在某一组，此时剩下 199 只家兔（其中与甲同组的有 99 个名额，另一组有 100 个名额）。 家兔乙被分在另一组的概率为： $P=\frac{100}{199}$

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（2）① 计算频率/组距并作图： 组距均为 $5$，样本量均为 $N=100$。

注射药物 A 组：

• $[60,65)$：频率 $=0.30⟹\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=\frac{0.30}{5}=0.06$
• $[65,70)$：频率 $=0.40⟹\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=\frac{0.40}{5}=0.08$
• $[70,75)$：频率 $=0.20⟹\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=\frac{0.20}{5}=0.04$
• $[75,80)$：频率 $=0.10⟹\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=\frac{0.10}{5}=0.02$

注射药物 B 组：

• $[60,65)$：频率 $=0.10⟹\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=0.02$
• $[65,70)$：频率 $=0.25⟹\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=0.05$
• $[70,75)$：频率 $=0.20⟹\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=0.04$
• $[75,80)$：频率 $=0.30⟹\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=0.06$
• $[80,85)$：频率 $=0.15⟹\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=0.03$

中位数大小比较：

• 药物 A 组：疱疹面积在 $[60,65)$ 的频率为 $0.30$，在 $[60,70)$ 的累计频率为 $0.70$，故中位数在区间 $[65,70)$ 内（具体估算值为 $65+\frac{0.5-0.3}{0.4}\times 5=67.5{\text{ mm}}^2$）；
• 药物 B 组：疱疹面积在 $[60,70)$ 的累计频率为 $0.35$，在 $[60,75)$ 的累计频率为 $0.55$，故中位数在区间 $[70,75)$ 内（具体估算值为 $70+\frac{0.5-0.35}{0.2}\times 5=73.75{\text{ mm}}^2$）。

结论： 注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数。

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② 完成 $2\times 2$ 列联表：

	疱疹面积小于 $70{\text{ mm}}^2$	疱疹面积不小于 $70{\text{ mm}}^2$	合计
注射药物 A	$a=70$	$b=30$	100
注射药物 B	$c=35$	$d=65$	100
合计	105	95	$n=200$

计算 $K^2$： $K^2=\frac{200\times (70\times 65-30\times 35{)}^2}{100\times 100\times 105\times 95}$ $=\frac{200\times (4550-1050{)}^2}{10000\times 9975}=\frac{200\times 3500^2}{10000\times 9975}=\frac{245000}{9975}\approx 24.561$

因为 $K^2\approx 24.561>10.828$， 所以有 99.9% 的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等可能事件概率求解、频率分布直方图纵轴含义（频率/组距）、$2\times 2$ 列联表卡方独立性检验。
2. 核心方法：直方图中中位数的寻找即累积面积达到 0.5 的位置。
3. 避坑指南：频率分布直方图纵坐标为“$\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$”而非“频率”；计算 $K^2$ 时先化简再代入计算，避免高位乘法出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2010 年辽宁高考理科第 18 题，为概率统计解答题标准命题范式（描述统计 + 概率 + 推断统计）。
2. 结论推广：独立性检验主要用于判断两分类变量之间是否相关，当 $K^2\ge 10.828$ 时即可在 $99.9\%$ 的置信水平下拒绝原假设（即判定两者有显著差异）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合
• 2012-浙江卷文-12 填-古典概型概率
• 2013-辽宁卷理-19 解-古典概型的概率计算