2010-重庆卷文-04 单-指数根式值域

本题导读

考查值域。定义域由 $16-4^x⩾0$ 得 $x⩽2$；因 $4^x>0$ 恒成立，$16-4^x<16$，且 $x=2$ 时 $y=0$、$x\to -\infty$ 时 $y\to 4^{-}$，故值域 $[0,4)$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 函数 $y=\sqrt{16-4^x}$ 的值域是()

A. $[0,+\infty )$　　　　　B. $[0,4]$　　　　　C. $[0,4)$　　　　　D. $(0,4)$

🔍【思路分析】

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1. 定义域：$16-4^x⩾0$，即 $4^x⩽16$，得 $x⩽2$。
2. 值域：$4^x>0$ 恒成立，故 $16-4^x<16$，$y<4$；$x=2$ 时 $y=0$，随 $x\to -\infty$，$y\to 4^{-}$，取得到 $0$ 取不到 $4$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由根式有意义，得 $16-4^x⩾0$，即 $4^x⩽16=4^2$，故 $x⩽2$. 当 $x⩽2$ 时，由指数函数性质知 $4^x>0$，因此 $0⩽16-4^x<16,$ 其中 $16-4^x=0$ 在 $x=2$ 时取得，$16-4^x=16$ 取不到（需 $4^x=0$，不可能）. 所以 $0⩽y<4,$ 即值域为 $[0,4)$. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数型根式函数的值域

核心方法：$16-4^x⩾0$ 定 $x⩽2$；$4^x>0$ 使 $16-4^x<16$，且 $16-4^x=0$ 可取，值域 $[0,4)$

避坑指南：原卷印 $\sqrt{16-4^x}$（上标 $x$ 文本层易丢失误读成 $4x$，600dpi 渲染已确认）；$4^x>0$ 恒成立是”取不到 $4$“的关键；$x=2$ 时 $y=0$ 能取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：根式函数值域：先定定义域，再看被开方数的取值范围，端点逐个检验。

结论推广：$a^x>0$（$a>0$）恒成立；$y=\sqrt{u}$ 的值域由 $u$ 的范围开方而来，端点能否取到看 $u$ 是否取到 $0$ 与上确界。

方法推广：含指数的根式：① 解 $u⩾0$ 定定义域；② 写 $u$ 的范围（注意开区间）；③ 开方后检验两端点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数
• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2009-安徽卷文-08 单-三次函数图象
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