2010-重庆卷文-09 单-异面垂直等距轨迹

本题导读

考查空间轨迹。设公垂线长 $h$，建系 $l_1:y=z=0$、$l_2:x=0,z=h$。令 $y=0$ 且 $z=\frac{x^2+h^2}{2h}$，则 $d(P,l_1{)}^2=z^2=x^2+(z-h{)}^2=d(P,l_2{)}^2$；$x$ 可取任意实数，满足条件的点有无穷多个，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点()

A. 只有 1 个　　B. 恰有 3 个　　C. 恰有 4 个　　D. 有无穷多个

🔍【思路分析】

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1. 建系：设公垂线长 $h>0$，两直线分别为 $l_1:y=z=0$（$x$ 轴）与 $l_2:x=0,z=h$。
2. 写出点 $P(x,y,z)$ 到两直线的距离平方。
3. 令 $y=0$，解 $d(P,l_1{)}^2=d(P,l_2{)}^2$，说明 $x$ 自由取值即可得无穷多解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设两直线的公垂线长为 $h$，其中 $h>0$，建立空间直角坐标系，使两直线分别为 $l_1:y=z=0,l_2:x=0,z=h.$ 对任意点 $P(x,y,z)$，其到两直线的距离分别满足 $d(P,l_1{)}^2=y^2+z^2,d(P,l_2{)}^2=x^2+(z-h{)}^2.$ 令 $y=0$，并令 $z=\frac{x^2+h^2}{2h},$ 则 $d(P,l_1{)}^2=z^2=x^2+z^2-2hz+h^2=x^2+(z-h{)}^2=d(P,l_2{)}^2.$ 随着 $x$ 取不同实数，$z=\frac{x^2+h^2}{2h}$ 给出无穷多个满足条件的点，因此满足条件的点有无穷多个. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间轨迹与异面直线

核心方法：建系 $l_1:y=z=0$、$l_2:x=0,z=h$，令 $y=0$、$z=\frac{x^2+h^2}{2}h$ 使距离相等，$x$ 自由故有无穷多个

避坑指南：“到两直线距离相等的点”是双曲面状点集，不是有限个；构造性证明只需给出一族解即可说明”无穷多”；公垂线长 $h$ 是自由参数但构造时固定即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间点集计数题：先猜后证，构造一族解比求轨迹方程更快。

结论推广：点到直线距离用坐标表示；$z=\frac{x^2+h^2}{2h}$ 来自 $z^2=x^2+(z-h{)}^2$ 的整理。

方法推广：“只有/恰有/有无穷”型选择题：找到参数化的一族解即可选”无穷多”；若怀疑有限个则需完整论证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-09 单-三棱柱异面直线
• 2009-大纲卷II文-05 单-正四棱柱异面直线
• 2011-大纲卷文-15 填-异面直线所成角
• 2012-四川卷文-14 填-异面直线所成角