2009-大纲卷II文-05 单-正四棱柱异面直线

本题导读

考查异面直线所成角。以 $D$ 为原点建系（底面边长 $1$、侧棱 $2$），写 $\overrightarrow{BE}$ 与 $\overrightarrow{C{D}_1}$ 算夹角余弦。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 已知正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A{A}_1=2AB$，$E$ 为 $A{A}_1$ 中点，则异面直线 $BE$ 与 $C{D}_1$ 所成的角的余弦值为 ()

A. $\frac{\sqrt{10}}{10}$　　　　　　B. $\frac{1}{5}$　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$　　　　　　D. $\frac{3}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $AB=1$，则 $A{A}_1=2$。建系：$A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=(1,1,0)$，$A_1=(0,0,2)$，$E=(0,0,1)$，$D_1=(0,1,2)$。
2. $\overrightarrow{BE}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{C{D}_1}=(-1,0,2)$。
3. $\cos \theta =\frac{1+2}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB=1$，则 $A{A}_1=2$。以 $A$ 为原点、$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系： $A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(1,1,0),D_1=(0,1,2),E=(0,0,1).$ 则 $\overrightarrow{BE}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{C{D}_1}=(-1,0,2)$。 设所成角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{C{D}_1}|}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{C{D}_1}|}=\frac{|1+0+2|}{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10},$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成的角

核心方法：坐标法求方向向量夹角

避坑指南：$\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{C{D}_1}$ 的 $y$ 分量都是 $0$（同在前后方向的面上），点积只剩 $x$、$z$ 项，别算入 $y$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱柱中的异面直线角首选建系向量法。

结论推广：$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$，异面直线角取 $[0,\frac{\pi }{2}]$。

方法推广：正四棱柱底面正方形、侧面全等，坐标分量好写，是天然的建系场景。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-04 单-异面直线所成角
• 2011-大纲卷文-15 填-异面直线所成角
• 2009-大纲卷I文-09 单-三棱柱异面直线