2010-重庆卷文-13 填-抛物线焦点弦

本题导读

考查抛物线焦点弦。$y^2=4x$ 焦点 $F(1,0)$。过焦点的弦 $AB$ 满足 $x_A{x}_B=1$（$u_1{u}_2=-1$ 对应 $x_A{x}_B=p^2/4=1$）。$|AF|=x_A+1=2$ 得 $x_A=1$，故 $x_B=1/x_A=1$，$|BF|=x_B+1=2$。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 已知过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点 $F$ 的直线交该抛物线于 $A$、$B$ 两点，$|AF|=2$，则 $|BF|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 抛物线 $y^2=4x$ 中 $2p=4$，焦点 $F(1,0)$，焦半径 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}=x_A+1$。
2. 由 $|AF|=2$ 得 $x_A=1$；过焦点的弦满足 $x_A{x}_B=\frac{p^2}{4}=1$，得 $x_B=1$。
3. $|BF|=x_B+1=2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4x$ 中 $2p=4$，焦点 $F(1,0)$，准线 $x=-1$. 由焦半径公式 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}=x_A+1=2$，得 $x_A=1$. 设直线 $AB$ 的参数为 $A(u_1^2,2u_1)$、$B(u_2^2,2u_2)$，弦 $AB$ 过焦点 $F(1,0)$ 时 $u_1{u}_2=-1.$ 由 $|AF|=u_1^2+1=2$ 得 $u_1^2=1$，从而 $u_2^2=\frac{1}{u_1^2}=1$， 故 $|BF|=u_2^2+1=2.$ 故填 $2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的焦点弦

核心方法：$|AF|=x_A+1=2$ 得 $x_A=1$；焦点弦性质 $x_A{x}_B=\frac{p^2}{4}=1$ 得 $x_B=1$，$|BF|=2$

避坑指南：$y^2=4x$ 中 $2p=4$、$\frac{p}{2}=1$；焦半径 $=x+\frac{p}{2}$；对称性也可秒判：$x_A=1$ 恰是焦点的横坐标，$AF$ 垂直 $x$ 轴时 $|AF|=|BF|=2p/2\times$……直接代焦半径公式最稳。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦点弦问题：焦半径公式 + 焦点弦性质（$x_A{x}_B=\frac{p^2}{4}$）。

结论推广：$y^2=2px$ 中 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}$；过焦点的弦 $x_A{x}_B=\frac{p^2}{4}$（顶点在 $y$ 轴右侧开口向右时）。

方法推广：先写 $p$ 与焦点，再用焦半径把 $|AF|$ 翻译成 $x_A$，结合焦点弦性质求 $x_B$；也可参数法 $u_1{u}_2=-p^2/4$ 对应。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-13 填-抛物线焦准距
• 2009-湖北卷文-20 解-抛物线焦点弦
• 2012-四川卷文-09 单-抛物线焦半径
• 2012-安徽卷文-14 填-抛物线焦点弦