2012-安徽卷文-14 填-抛物线焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及直线与抛物线相交。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） 过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点 $F$ 的直线交该抛物线于 $A$，$B$ 两点，若 $|AF|=3$，则 $|BF|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$x_A=2$，$x_A{x}_B=\frac{p^2}{4}=1\Rightarrow x_B=\frac{1}{2}$，$|BF|=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$y^2=4x$ 的焦点 $F(1,0)$，准线 $x=-1$。由抛物线定义，$|AF|=x_A+1=3$，故 $x_A=2$。

设 $A(x_A,y_A)$、$B(x_B,y_B)$，焦点弦两端点的横坐标满足 $x_A{x}_B=\frac{p^2}{4}=1$，

故 $x_B=\frac{1}{2}$，$|BF|=x_B+1=\frac{3}{2}$。

（验证：直线 $AF$ 斜率为 $2\sqrt{2}$，联立 $y=2\sqrt{2}(x-1)$ 与 $y^2=4x$ 得 $2x^2-5x+2=0$，根为 $2$ 与 $\frac{1}{2}$，一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦：$|AF|=x_A+\frac{p}{2}$；$x_A{x}_B=\frac{p^2}{4}$

核心方法：用定义把焦半径化为横坐标，再用焦点弦的横坐标乘积定另一端

避坑指南：$y^2=4x$ 中 $p=2$，焦半径 $=x+\frac{p}{2}=x+1$（不是 $x+2$）；$x_A{x}_B=1$ 这条性质最省力，若联立方程要写对直线并验判别式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点弦题，与 2012 年四川卷文第 9 题、2013 年北京卷文第 9 题同族。

结论推广：$y^2=2px$ 中 $x_A{x}_B=\frac{p^2}{4}$，$y_A{y}_B=-p^2$；$|AF|\cdot |BF|$ 与 $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$ 可作结论记忆。

方法推广：焦点弦问题优先”定义 + 横坐标关系”，避免设斜率硬算；联立时用韦达定理取两根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-四川卷文-09 单-抛物线焦半径
• 2013-北京卷文-09 填-抛物线焦点准线
• 2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线