2010-重庆卷文-16 解-等差等比通项求和

本题导读

考查数列基本量。$a_n=19-2(n-1)=21-2n$，$S_n=\frac{n(19+21-2n)}{2}=20n-n^2$；$b_n-a_n=3^{n-1}$，故 $b_n=21-2n+3^{n-1}$，$T_n=S_n+\frac{3^n-1}{2}=20n-n^2+\frac{3^n-1}{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是首项为 19，公差为 $-2$ 的等差数列，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.

(1)求通项 $a_n$ 及 $S_n$；

(2)设 $\{b_n-a_n\}$ 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）代通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 与求和公式 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。 2.（2）由 $\{b_n-a_n\}$ 是首项 1 公比 3 的等比数列得 $b_n-a_n=3^{n-1}$，即 $b_n=a_n+3^{n-1}$。 3. $T_n=\sum b_k=\sum a_k+\sum 3^{k-1}$，两组分别求和。

✅【答案】

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(1) $a_n=21-2n$，$S_n=20n-n^2$

(2) $b_n=21-2n+3^{n-1}$，$T_n=20n-n^2+\frac{3^n-1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）等差数列的通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d=19-2(n-1)=21-2n.$ 因而 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(19+21-2n)}{2}=n(20-n)=20n-n^2.$ （2）由题意，$b_n-a_n=3^{n-1}$，所以 $b_n=21-2n+3^{n-1}.$ 因而 $T_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k={\sum }_{k=1}^n(21-2k)+{\sum }_{k=1}^n{3}^{k-1}=S_n+\frac{3^n-1}{3-1}=20n-n^2+\frac{3^n-1}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比数列的通项与求和

核心方法：$a_n=21-2n$、$S_n=20n-n^2$；$b_n=21-2n+3^{n-1}$，$T_n=S_n+\frac{3^n-1}{2}$

避坑指南：$\{b_n-a_n\}$ 是等比数列即 $b_n=a_n+3^{n-1}$；$T_n$ 分两组求和：等差部分用 $S_n$、等比部分用 $\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$，公比 $3$ 时分母 $2$ 别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“新数列 = 旧数列 + 等比”结构：分组求和是标准通道。

结论推广：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$；${\sum }_{k=1}^n{q}^{k-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$。

方法推广：先分别写出两个成分的通项，再分组求和；等比求和写清首项、公比、项数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和
• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列
• 2009-辽宁卷文-17 解-等比数列求和
• 2011-新课标卷文-17 解-等比数列与对数求和