2010-重庆卷理-08 单-参数方程

本题导读

本题将圆的参数方程与直线交点问题相结合，核心考查利用圆的几何对称性巧妙化简解析计算，避免繁琐的联立方程与韦达定理运算。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{2}$ 与圆心为 $D$ 的圆 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+\sqrt{3}\cos \theta \\ y=1+\sqrt{3}\sin \theta \end{array}$（$\theta \in [0,2\pi )$）交于 $A,B$ 两点，则直线 $AD$ 与 $BD$ 的倾斜角之和为()

A. $\frac{7}{6}\pi$　　　　　　　B. $\frac{5}{4}\pi$　　　　　　　C. $\frac{4}{3}\pi$　　　　　　　D. $\frac{5}{3}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将圆的参数方程化为普通方程，确定圆心 $D$ 的坐标。

2. 求出已知直线的倾斜角，并根据垂径定理确定过圆心且垂直于该直线的对称轴直线的倾斜角。

3. 利用圆的轴对称性，得出 $AD$ 与 $BD$ 关于该对称轴对称，从而利用中点角公式求出倾斜角之和。

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C

✍【详细解析】

Abstract

将圆的参数方程消去参数 $\theta$，得普通方程： $(x-\sqrt{3}{)}^2+(y-1{)}^2=3$， 可知圆心为 $D(\sqrt{3},1)$。 已知直线 $l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{2}$ 的斜率为 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则其倾斜角为 $\alpha =\frac{\pi }{6}$。 设过圆心 $D$ 且垂直于直线 $l$ 的直线为 $l^{\prime }$，则 $l^{\prime }$ 是弦 $AB$ 的垂直平分线，也是该圆的一条对称轴。 因为 $l^{\prime }\perp l$，所以直线 $l^{\prime }$ 的倾斜角为 $\beta =\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}=\frac{2\pi }{3}$。 由圆的轴对称性可知，直线 $AD$ 与 $BD$ 关于直线 $l^{\prime }$ 对称。 设直线 $AD,BD$ 的倾斜角分别为 ${\theta }_1,{\theta }_2$， 则根据对称性，其倾斜角的平均数即为对称轴的倾斜角，即： $\frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}=\beta =\frac{2\pi }{3}⟹{\theta }_1+{\theta }_2=\frac{4\pi }{3}$。 答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程互化、直线垂直的斜率关系、圆的轴对称几何性质。

2. 核心方法：几何对称法代替代数联立求解法。

3. 避坑指南：盲目联立直线与圆的方程去求 $A,B$ 坐标会导致计算量极大且极易出错，看清“圆心 $D$”与交点构成的对称图形是破题关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题主要考查解析几何的基本量计算，巧妙地结合了对称性的解析表述。

2. 结论推广：若直线 $l$ 的倾斜角为 $\alpha$，圆心 $D$ 到 $l$ 的垂线倾斜角为 $\beta =\alpha +\frac{\pi }{2}$（或 $\alpha -\frac{\pi }{2}$），则圆心与两交点连线的倾斜角之和满足 ${\theta }_1+{\theta }_2=2\beta$（可在模 $\pi$ 意义下修正）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-05 填-参数方程
• 2011-广东卷文-14 填-参数方程交点
• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标