2010-重庆卷理-20 解-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程、渐近线以及解析几何中的定值问题。第二问蕴含高等几何中“极点与极线”的对偶背景，核心在于巧妙利用交点坐标反向构建直线 $MN$ 的方程，进而通过整体代换证明三角形面积为定值。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 已知以原点 $O$ 为中心，$F(\sqrt{5},0)$ 为右焦点的双曲线 $C$ 的离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

(1)求双曲线 $C$ 的标准方程及其渐近线方程；

(2)如图，已知过点 $M(x_1,y_1)$ 的直线 $l_1:x_{1}x+4y_{1}y=4$ 与过点 $N(x_2,y_2)$（其中 $x_2\ne x_1$）的直线 $l_2:x_{2}x+4y_{2}y=4$ 的交点 $E$ 在双曲线 $C$ 上，直线 $MN$ 与两条渐近线分别交于 $G、H$ 两点，求 $△OGH$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：根据右焦点坐标确定 $c=\sqrt{5}$，结合离心率 $e=\frac{c}{a}$ 求出 $a$，再由 $b^2=c^2-a^2$ 确定标准方程与渐近线方程。

2. 第二问：设交点 $E(x_0,y_0)$，因 $E$ 同时在 $l_1,l_2$ 上，其坐标代入后呈现对称结构，从而可反推得出直线 $MN$ 的方程为 $x_{0}x+4y_{0}y=4$。再将该直线与两渐近线联立求出 $G,H$ 的坐标，利用三角形面积的坐标公式及 $E$ 在双曲线上的代数条件整体代换求解。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

（1）由题意可知，双曲线的焦点在 $x$ 轴上，其中 $c=\sqrt{5}$。 因为离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以 $\frac{\sqrt{5}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}⟹a=2$。 则 $b^2=c^2-a^2=(\sqrt{5}{)}^2-2^2=1$。 故双曲线 $C$ 的标准方程为：$\frac{x^2}{4}-y^2=1$。 其渐近线方程为 $\frac{x^2}{4}-y^2=0⟹y=\pm \frac{1}{2}x$，即 $x-2y=0$ 和 $x+2y=0$。

（2）设 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $E(x_0,y_0)$。 因为点 $E(x_0,y_0)$ 在直线 $l_1$ 上，所以 $x_1{x}_0+4y_1{y}_0=4⟹x_0{x}_1+4y_0{y}_1=4$； 因为点 $E(x_0,y_0)$ 在直线 $l_2$ 上，所以 $x_2{x}_0+4y_2{y}_0=4⟹x_0{x}_2+4y_0{y}_2=4$。 上述两个式子表明，点 $M(x_1,y_1)$ 和 $N(x_2,y_2)$ 的坐标均满足方程 $x_{0}x+4y_{0}y=4$。 又因为 $x_2\ne x_1$，即 $M,N$ 为两个相异点， 所以直线 $MN$ 的方程为：$x_{0}x+4y_{0}y=4$。 联立直线 $MN$ 与渐近线 $x-2y=0$（即 $x=2y$）： $x_0(2y)+4y_{0}y=4⟹2y(x_0+2y_0)=4⟹y_G=\frac{2}{x_0+2y_0}$， 进而得 $x_G=2y_G=\frac{4}{x_0+2y_0}$，即 $G\left(\frac{4}{x_0+2y_0},\frac{2}{x_0+2y_0}\right)$。 同理，联立直线 $MN$ 与渐近线 $x+2y=0$（即 $x=-2y$）： $x_0(-2y)+4y_{0}y=4⟹2y(2y_0-x_0)=4⟹y_H=\frac{2}{2y_0-x_0}=\frac{-2}{x_0-2y_0}$， 进而得 $x_H=-2y_H=\frac{4}{x_0-2y_0}$，即 $H\left(\frac{4}{x_0-2y_0},\frac{-2}{x_0-2y_0}\right)$． 根据原点三角形面积的坐标交叉乘积公式 $S_{△OGH}=\frac{1}{2}|x_G{y}_H-x_H{y}_G|$ 得： $S_{△OGH}=\frac{1}{2}\left|\frac{4}{x_0+2y_0}\cdot \frac{-2}{x_0-2y_0}-\frac{4}{x_0-2y_0}\cdot \frac{2}{x_0+2y_0}\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{-8-8}{x_0^2-4y_0^2}\right|=\frac{8}{|x_0^2-4y_0^2|}$。 因为点 $E(x_0,y_0)$ 在双曲线 $C$ 上，所以满足 $\frac{x_0^2}{4}-y_0^2=1⟹x_0^2-4y_0^2=4$。 代入面积表达式中，得： $S_{△OGH}=\frac{8}{4}=2$。 故 $△OGH$ 的面积为定值 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线方程、动弦与渐近线交点坐标表示、代数恒等变形与消元。

2. 核心方法：利用对偶律（极线法）直接写出 $MN$ 方程，规避联立 $l_1,l_2$ 的复杂繁琐运算。

3. 避坑指南：本题极易陷入先联立 $l_1$ 和 $l_2$ 解出 $E$ 的硬算误区，导致计算量过大。必须掌握“若点在直线上，则直线过点”的对偶转换思维。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自近代几何中的中心二次曲线“极点与极线”理论。若点 $E$ 在双曲线上，其关于曲线 $x^2-4y^2=4$ 的极线为 $x_{0}x-4y_{0}y=4$（即切线），而本题中 $MN$ 的方程为 $x_{0}x+4y_{0}y=4$，实质是切线关于 $x$ 轴或 $y$ 轴对称后的图象，其几何截面性质（如与渐近线围成的面积）保持高度的一致性与对称性。

2. 结论推广：对于任意双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若动直线 $l:\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$ 中的参数点 $(x_0,y_0)$ 恒在双曲线上，则该直线与两渐近线围成的三角形面积恒为定值 $ab$。本题中 $a=2,b=1$，故面积恒为 $2\times 1=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-10 单-双曲线焦点三角形
• 2012-辽宁卷文-15 填-双曲线焦点三角形垂直
• 2013-湖南卷文-14 填-双曲线焦点三角形