2010-陕西卷文-02 单-复数除法象限

本题导读

考查复数除法与复平面。$\frac{i}{1+i}=\frac{1+i}{2}$，实部、虚部均大于零，对应点在第一象限，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 复数 $z=\frac{i}{1+i}$ 在复平面上对应的点位于()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分母实数化：分子分母同乘 $1-i$。
2. 化简得 $z=\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$，实部虚部符号定象限。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

$z=\frac{i}{1+i}=\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{i-i^2}{2}=\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i.$ 实部 $\frac{1}{2}>0$，虚部 $\frac{1}{2}>0$，对应点 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 位于第一象限. 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法与复平面的象限

核心方法：$\frac{i}{1+i}=\frac{1+i}{2}$，对应点 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 在第一象限

避坑指南：分母实数化是标准动作：分子分母同乘 $1-i$；$i^2=-1$ 别写成正号；化简后再读实部虚部的符号定象限，别凭分式外形猜象限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数小题全国卷覆盖率极高，多为除法化简后问象限、模或共轭。

结论推广：$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$；复数 $z=a+bi$ 对应点 $(a,b)$。

方法推广：先化成 $a+bi$ 的标准形式再谈几何意义；两个分式相乘时注意中间步骤的符号，最后实部虚部同时大于零才落第一象限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-01 单-复数除法
• 2011-广东卷文-01 单-复数除法
• 2012-新课标卷文-02 单-复数的除法运算
• 2012-北京卷文-02 单-复数与复平面