2012-北京卷文-02 单-复数与复平面

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及复数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 在复平面内，复数 $\frac{10i}{3+i}$ 对应的点的坐标为()

A. $(1,3)$　　　　B. $(3,1)$　　　　C. $(-1,3)$　　　　D. $(3,-1)$

🔍【思路分析】

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$\frac{10i}{3+i}=\frac{10i(3-i)}{10}=1+3i$，对应点 $(1,3)$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{10i}{3+i}=\frac{10i(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{30i-10i^2}{10}=\frac{10+30i}{10}=1+3i$。

故对应点的坐标为 $(1,3)$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法（分母实数化）；复数的几何意义

核心方法：分子分母同乘共轭 $3-i$，化成 $a+bi$ 后读坐标

避坑指南：别把坐标写成 $(3,1)$（实虚部顺序）；$i^2=-1$ 使 $-10i^2=+10$ 进实部。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法与几何意义入口题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 2 题、2013 年北京卷文第 4 题同族。

结论推广：一般地，$\frac{ai}{c+di}=\frac{ai(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{ad}{c^2+d^2}+\frac{ac}{c^2+d^2}i$。

方法推广：复数除法口诀”分母实数化”，先化简再读实虚部。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-02 单-复数的除法运算
• 2013-北京卷文-04 单-复数象限