2010-陕西卷文-18 解-四棱锥垂直夹角

本题导读

考查线面垂直证明与面面夹角。建系后 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{BE}=\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{EF}=0$ 得线面垂直；两平面法向量夹角余弦为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，夹角 $45^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，$AP=AB=2$，$BC=2\sqrt{2}$，$E$，$F$ 分别是 $AD$，$PC$ 的中点.

(1)证明：$PC\perp$ 平面 $BEF$；

(2)求平面 $BEF$ 与平面 $BAP$ 夹角的大小.

🔍【思路分析】

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1. 以 $A$ 为原点、$AB$，$AD$，$AP$ 为 $x$，$y$，$z$ 轴建系，写出各点坐标。
2. （1）证 $\overrightarrow{PC}$ 与平面 $BEF$ 内两条相交直线 $BE$、$EF$ 的方向向量数量积为零。
3. （2）求平面 $BAP$ 的法向量 ${\vec{n}}_1$（观察即得）与平面 $BEF$ 的法向量 ${\vec{n}}_2$（取 $\overrightarrow{BE}\times \overrightarrow{EF}$ 方向），用夹角公式。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点，分别以 $AB$，$AD$，$AP$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系. 则 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$D(0,2\sqrt{2},0)$，$C(2,2\sqrt{2},0)$，$P(0,0,2)$，且由中点条件得 $E(0,\sqrt{2},0)$，$F(1,\sqrt{2},1)$. （1）$\overrightarrow{PC}=(2,2\sqrt{2},-2)$，$\overrightarrow{BE}=(-2,\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{EF}=(1,0,1)$. $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{BE}=-4+4+0=0,\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{EF}=2+0-2=0.$ 即 $PC\perp BE$，$PC\perp EF$，而 $BE$ 与 $EF$ 是平面 $BEF$ 内相交于点 $E$ 的两条直线， 所以 $PC\perp$ 平面 $BEF$. （2）平面 $BAP$ 过 $y$ 轴方向之外的两个坐标轴方向，其一个法向量为 ${\vec{n}}_1=(0,1,0)$. 平面 $BEF$ 的一个法向量可取 ${\vec{n}}_2=(\sqrt{2},2,-\sqrt{2})$（与 $\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{EF}$ 的数量积均为零）. 设两平面的夹角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{2}{1\times \sqrt{2+4+2}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$ 由于两平面的夹角取 $[0,90^{\circ }]$，故 $\theta =45^{\circ }$，即平面 $BEF$ 与平面 $BAP$ 的夹角为 $45^{\circ }$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的向量证明与面面夹角

核心方法：$\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{BE}=\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{EF}=0$；$\cos \theta =\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\theta =45^{\circ }$

避坑指南：建系前先验证三线两两垂直（$PA\perp$ 底面保证 $z$ 轴合法）；证线面垂直必须说明两条相交直线；面面夹角取 $[0,90^{\circ }]$，法向量夹角余弦要加绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥”垂直证明+空间角”是立体几何解答题的标准结构，2009 湖北文第 18 题、2011 辽宁文第 18 题同型。

结论推广：线面垂直判定定理；两平面夹角 $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$；法向量可用叉乘或解方程组获得。

方法推广：坐标全部写清再运算；垂直证明收尾时把”相交”二字写进结论；夹角问题最后由 $\cos \theta$ 反查特殊角，$45^{\circ }$ 对应 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2011-辽宁卷文-18 解-四棱锥垂直与体积比
• 2012-广东卷文-18 解-四棱锥垂直与体积