2011-北京卷文-13 填-分段函数两根

本题导读

本题考查分段函数的图象，以及方程根的个数与图象交点。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x},& x⩾2,\\ (x-1{)}^3,& x<2,\end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=k$ 有两个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$\frac{2}{x}$（$x⩾2$）递减值域 $(0,1]$
2. 步骤2：$(x-1{)}^3$（$x<2$）递增值域 $(-\infty ,1)$
3. 步骤3：两支各一根

✅【答案】

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$(0,1)$

✍【详细解析】

Abstract

右支 $\frac{2}{x}$（$x⩾2$）：单调递减，值域 $(0,1]$；

左支 $(x-1{)}^3$（$x<2$）：单调递增，值域 $(-\infty ,1)$。

两支在各自区间上单调，每个 $k$ 在一支上至多一根。方程有两根 $⟺$ $k$ 同时落在两支值域内。

$(0,1]\cap (-\infty ,1)=(0,1]$。但当 $k=1$ 时右支 $x=2$ 一根、左支 $(x-1{)}^3=1$ 需 $x=2\notin (-\infty ,2)$ 无根，故 $k=1$ 只有一根，舍去。

故 $k\in (0,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数各支的值域与单调性；水平线与图象交点个数

核心方法：分段画图象、逐支定值域：两根 $⟺$ $k$ 在两支值域交集内且各支恰一根

避坑指南：端点 $k=1$ 是陷阱：右支含 $1$ 但左支取不到 $1$（$x=2$ 不在左支），恰一根；$k⩽0$ 时左支一根、右支无根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“分段函数 + 水平线交点个数”与 2012-天津卷文-14（分段函数图象交点）、2013-福建卷文-13（分段函数求值）同族。

结论推广：推广：一般分段函数 $f(x)=k$ 的根数 = 水平线 $y=k$ 与各支图象交点数之和；值域交集是必要条件，端点处需逐个验证归属。

方法推广：根个数填空：逐支写”单调性 + 值域”，取交集后必须检验端点的归属（哪一支真正取到该值）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-14 填-分段函数图象交点
• 2013-福建卷文-13 填-分段函数求值