2011-北京卷文-17 解-四面体中点四边形

本题导读

本题考查线面平行的判定，以及三角形中位线。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 如图，在四面体 $PABC$ 中，$PC\perp AB$，$PA\perp BC$，点 $D$，$E$，$F$，$G$ 分别是棱 $AP$，$AC$，$BC$，$PB$ 的中点．

(1) 求证：$DE\parallel$ 平面 $BCP$；

(2) 求证：四边形 $DEFG$ 为矩形；

(3) 是否存在点 $Q$，到四面体 $PABC$ 六条棱的中点的距离相等？说明理由．

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 中位线 $DE\parallel PC$
2. 步骤2：(2) $DEFG$ 两组对边分别平行于 $PC$、$AB$
3. 步骤3：且 $PC\perp AB$
4. 步骤4：(3) 取矩形 $DEFG$ 中心

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) 四边形 $DEFG$ 为矩形

(3) 存在，取矩形 $DEFG$ 的中心即可

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△APC$ 中，$D$、$E$ 分别是 $AP$、$AC$ 的中点，故 $DE\parallel PC$。

$PC\subset$ 平面 $BCP$，$DE\text{noot}\subset$ 平面 $BCP$，所以 $DE\parallel$ 平面 $BCP$。

(2) 同理：$FG\parallel PC$（$△PBC$ 中位线），故 $DE\parallel FG$；$EF\parallel AB$（$△ABC$ 中位线），$DG\parallel AB$（$△PAB$ 中位线），故 $EF\parallel DG$。

$DEFG$ 为平行四边形。又 $PC\perp AB$，$DE\parallel PC$、$EF\parallel AB$，故 $DE\perp EF$，所以 $DEFG$ 为矩形。

(3) 存在。先指出 $PB\perp AC$：以 $P$ 为原点，设 $A$、$B$、$C$ 对应向量 $a$、$b$、$c$。由 $PA\perp BC$：$a\cdot (b-c)=0$；由 $PC\perp AB$：$c\cdot (a-b)=0$。两式展开相减可得 $a\cdot b=a\cdot c=b\cdot c$，于是 $b\cdot (c-a)=0$，即 $PB\perp AC$。

设 $M$ 为 $AB$ 中点、$N$ 为 $PC$ 中点。取 $Q$ 满足 $\overrightarrow{PQ}=\frac{a+b+c}{4}$，则 $Q$ 是 $DF$ 与 $EG$ 的中点（$\frac{D+F}{2}=\frac{a+b+c}{4}$），即矩形 $DEFG$ 的中心。

六个中点相对 $Q$ 的向量分别为：

$\overrightarrow{QD}=\frac{b+c-a}{4}$，$\overrightarrow{QE}=\frac{b-a-c}{4}$，$\overrightarrow{QF}=\frac{a-b-c}{4}$，$\overrightarrow{QG}=\frac{a+c-b}{4}$，$\overrightarrow{QM}=\frac{c-a-b}{4}$，$\overrightarrow{QN}=\frac{a+b-c}{4}$。

利用 $a\cdot b=a\cdot c=b\cdot c$，逐一计算模的平方：

$|\overrightarrow{QD}{|}^2=\frac{a^2+b^2+c^2-2a\cdot b}{16}$，其余五个同理（展开后两两交叉项恰好合并为同一结果），故 $Q$ 到六条棱的中点距离相等。

综上，存在满足条件的点 $Q$，即矩形 $DEFG$ 的中心。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的判定定理；中位线的传递性；矩形的判定（一组角为直角的平行四边形）；六棱中点共球

核心方法：中位线是平行的桥梁：把空间垂直关系 $PC\perp AB$ 平移到中点四边形；等距点用对称性（四面体重心）验证

避坑指南：(2) 中必须先证两组对边平行（是平行四边形），再证一个角是直角；只证 $DE\perp EF$ 不够。(3) 中矩形中心到 $D,E,F,G$ 等距可直接由对角线性质得出，但到 $AB$、$PC$ 中点等距需借助对棱互相垂直说明，不能想当然。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四面体中点四边形是立体几何证明题的经典模型，与 2012-江苏卷-16（面面垂直与线面平行）、2013-山东卷文-19（线面平行面面垂直）同族。

结论推广：推广：任意四面体的六棱中点构成八面体；当且仅当三组对棱互相垂直时，该八面体各顶点共球（球心为四面体重心）。本题条件给出两组对棱垂直，第三组自动成立。

方法推广：立体几何证明题：中点条件 → 中位线平行；“垂直关系沿平行线传递”是第(2)问的核心；存在性问题先给出构造（取矩形中心），再验证性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-16 解-面面垂直与线面平行
• 2013-山东卷文-19 解-线面平行面面垂直
• 2011-新课标卷文-18 解-四棱锥垂直与求高