2011-北京卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的除法与共轭复数。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 复数 $\frac{\mathrm{i}-2}{1+2\mathrm{i}}=$ ()

A. $\mathrm{i}$　　　　B. $-\mathrm{i}$　　　　C. $-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\mathrm{i}$　　　　D. $-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. 分子分母同乘以分母的共轭复数 $1-2\mathrm{i}$。
2. 化简求值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： $\frac{\mathrm{i}-2}{1+2\mathrm{i}}=\frac{(-2+\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}{(1+2\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}=\frac{-2+4\mathrm{i}+\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2}{1^2-(2\mathrm{i}{)}^2}=\frac{-2+5\mathrm{i}+2}{1+4}=\frac{5\mathrm{i}}{5}=\mathrm{i}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数的除法运算及 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的性质。
• 核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数。
• 避坑指南：展开时注意负号与 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的转化，防止符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自复数基本运算例题。
• 结论推广：若 $\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}=\mathrm{i}$，则 $a+b\mathrm{i}=-d+c\mathrm{i}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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