2011-北京卷理-07 单-三视图

本题导读

本题考查三视图还原几何体，以及几何体表面积计算。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 ()

A. 8　　　　　　　B. $6\sqrt{2}$　　　　　　　C. 10　　　　　　　D. $8\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 由三视图还原四面体顶点坐标及空间结构。
2. 分别计算四面体四个面的面积，比较找出最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 建立空间直角坐标系，由三视图可知该四面体的四个顶点坐标分别为： $D(0,0,0),A(4,0,0),B(0,3,0),C(0,3,4)$ 其中 $DA\perp$ 平面 $DBC$。

分别计算四个面的面积：

1. 底面 $\Delta DAB$：直角边长为 $DA=4,DB=3$，直角三角形， $S_1=\frac{1}{2}\times 4\times 3=6$
2. 侧面 $\Delta DBC$：直角边长为 $DB=3,BC=4$，直角三角形， $S_2=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$
3. 侧面 $\Delta DAC$：因为 $DA\perp$ 平面 $DBC$，所以 $DA\perp DC$。$DC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，直角边为 $DA=4,DC=5$， $S_3=\frac{1}{2}\times 4\times 5=10$
4. 侧面 $\Delta ABC$：因为 $BC\parallel z$轴，且 $AB\subset xy$平面，所以 $BC\perp AB$。直角边为 $BC=4,AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$， $S_4=\frac{1}{2}\times 4\times 5=10$

四个面的面积分别为 6, 6, 10, 10，最大面积为 10。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三视图还原多面体及空间线面垂直关系。
• 核心方法：坐标法还原几何体，利用三垂线定理判定侧面三角形形态。
• 避坑指南：还原几何体时需仔细校验三个视图的投影方向，切勿遗漏倾斜面的真实面积计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自立体几何三视图与空间想象力综合考题。
• 结论推广：当三视图皆为直角三角形时，几何体通常可嵌入长方体框架中分析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-07 单-三视图表面积
• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积
• 2013-新课标I卷理-08 单-由三视图还原几何体