2011-北京卷理-08 单-导数综合

本题导读

本题考查平行四边形性质与坐标表示，以及区域内整点计数。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 设 $A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)$（$t\in \mathbf{R}$）.记 $N(t)$ 为平行四边形 $ABCD$ 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 $N(t)$ 的值域为 ()

A. $\{9,10,11\}$　　B. $\{9,10,12\}$　　C. $\{9,11,12\}$　　D. $\{10,11,12\}$

🔍【思路分析】

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1. 平行四边形内部的整点分布在纵坐标 $y=1,2,3$ 这三条水平线上。
2. 对固定的 $y\in \{1,2,3\}$，横坐标区间长度为 4。判断区间开端点是否为整数，进而确定该层整点个数（3个或4个）。
3. 讨论 $t$ 对三条线上整点个数的影响，总结出 $N(t)$ 所有可能的取值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 平行四边形 $ABCD$ 内部的整点纵坐标只能取 $y=1,2,3$。 对给定的 $y$，横坐标 $x$ 满足： $\frac{t}{4}y<x<4+\frac{t}{4}y$ 开区间 $\left(\frac{t}{4}y,4+\frac{t}{4}y\right)$ 的长度恒为 4：

• 若端点 $\frac{t}{4}y\in \mathbf{Z}$，则区间内包含 3 个整数；
• 若端点 $\frac{t}{4}y\notin \mathbf{Z}$，则区间内包含 4 个整数。

对 $t$ 的取值进行分类讨论：

1. 若 $\frac{t}{4}\in \mathbf{Z}$（即 $t$ 为 4 的倍数）： 对 $y=1,2,3$，$\frac{t}{4}y$ 均位整数，三层各有 3 个整点， $N(t)=3+3+3=9$
2. 若 $\frac{t}{4}\notin \mathbf{Z}$ 但 $\frac{2t}{4}=\frac{t}{2}\in \mathbf{Z}$（即 $t$ 为偶数但非 4 的倍数）：

• $y=1$ 时，$\frac{t}{4}\notin \mathbf{Z}$，有 4 个整点；
• $y=2$ 时，$\frac{2t}{4}\in \mathbf{Z}$，有 3 个整点；
• $y=3$ 时，$\frac{3t}{4}\notin \mathbf{Z}$，有 4 个整点； $N(t)=4+3+4=11$

3. 若 $\frac{t}{2}\notin \mathbf{Z}$（即 $t$ 不为偶数）： 对 $y=1,2,3$，$\frac{t}{4}y$ 均不为整数，三层各有 4 个整点， $N(t)=4+4+4=12$

综上，$N(t)$ 的可能取值为 $9,11,12$，故函数 $N(t)$ 的值域为 $\{9,11,12\}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面网格中的整点问题与分段计数。
• 核心方法：按纵坐标分层讨论，分析开区间内整数个数与端点有理性的关系。
• 避坑指南：注意“不含边界”的前提条件，区间端点为整数时，不计入端点本身。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自皮克定理（Pick’s theorem）及格点多边形计数的创新压轴选择题。
• 结论推广：长度为 $L\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 的开区间 $(u,u+L)$ 内的整数个数为：当 $u\in \mathbf{Z}$ 时为 $L-1$；当 $u\notin \mathbf{Z}$ 时为 $L$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2000-上海卷理-15 单-集合的交集运算
• 2007-天津卷理-10 单-函数值域最值
• 2010-山东卷文-03 单-对数函数值域