2011-北京卷理-18 解-导数

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=(x-k{)}^2{\mathrm{e}}^{\frac{x}{k}}$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 若对于任意的 $x\in (0,+\infty )$，都有 $f(x)⩽\frac{1}{\mathrm{e}}$，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 对 $f(x)$ 求导得 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{k}(x-k)(x+k){\mathrm{e}}^{\frac{x}{k}}$，导数的零点为 $x=k$ 和 $x=-k$。由于定义域依赖于 $k\ne 0$，需按 $k>0$ 和 $k<0$ 分类讨论单调区间。
2. 对于第(2)问，在 $x\in (0,+\infty )$ 上讨论 $f(x)$ 的最大值：

• 当 $k<0$ 时，分析 $x\to +\infty$ 时的趋势或局部极值；
• 当 $k>0$ 时，找出 $(0,+\infty )$ 上的极大值点 $x=k$ 与端点趋势，解不等式 $f(k)⩽\frac{1}{\mathrm{e}}$ 确定 $k$ 的范围。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 函数 $f(x)$ 的定义域为 $\{x\in \mathbf{R}\mid k\ne 0\}$。 对 $f(x)$ 求导： $f^{\prime }(x)=2(x-k){\mathrm{e}}^{\frac{x}{k}}+(x-k{)}^2{\mathrm{e}}^{\frac{x}{k}}\cdot \frac{1}{k}=\frac{1}{k}(x-k)[2k+(x-k)]{\mathrm{e}}^{\frac{x}{k}}=\frac{1}{k}(x-k)(x+k){\mathrm{e}}^{\frac{x}{k}}$

令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=-k,x_2=k$。

对 $k$ 的正负进行分类讨论：

• 当 $k>0$ 时：$-k<k$。
• 当 $x\in (-\infty ,-k)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (-k,k)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (k,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。

• 当 $k<0$ 时：$k<-k$。
• 由于 $\frac{1}{k}<0$，当 $x\in (-\infty ,k)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (k,-k)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (-k,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。

综上所述：

• 当 $k>0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,-k)$ 和 $(k,+\infty )$，单调递减区间为 $(-k,k)$；
• 当 $k<0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(k,-k)$，单调递减区间为 $(-\infty ,k)$ 和 $(-k,+\infty )$。

(2) 要使对任意的 $x\in (0,+\infty )$ 都有 $f(x)⩽\frac{1}{\mathrm{e}}$：

① 当 $k<0$ 时： 由(1)知，当 $x\in (-k,+\infty )$ 时，$f(x)$ 单调递减，但在区间 $(k,-k)$ 上 $f(x)$ 单调递增。 在 $x=-k>0$ 处取得极大值： $f(-k)=(-k-k{)}^2{\mathrm{e}}^{\frac{-k}{k}}=4k^2{\mathrm{e}}^{-1}=\frac{4k^2}{\mathrm{e}}$ 要使 $f(x)⩽\frac{1}{\mathrm{e}}$ 在 $(0,+\infty )$ 上恒成立，必有 $f(-k)⩽\frac{1}{\mathrm{e}}$： $\frac{4k^2}{\mathrm{e}}⩽\frac{1}{\mathrm{e}}⟹4k^2⩽1⟹-\frac{1}{2}⩽k<0$ 检验当 $-\frac{1}{2}⩽k<0$ 时：

• 在 $(0,-k)$ 上，$f(x)⩽f(-k)=\frac{4k^2}{\mathrm{e}}⩽\frac{1}{\mathrm{e}}$；
• 在 $[-k,+\infty )$ 上，$f(x)$ 单调递减，故 $f(x)⩽f(-k)⩽\frac{1}{\mathrm{e}}$。 故 $-\frac{1}{2}⩽k<0$ 符合题意。

② 当 $k>0$ 时： 由(1)知，$f(x)$ 在 $(0,k)$ 上单调递减，在 $(k,+\infty )$ 上单调递增。 当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)=(x-k{)}^2{\mathrm{e}}^{\frac{x}{k}}\to +\infty$， 因此在 $(0,+\infty )$ 上 $f(x)$ 没有最大值（即 $f(x)$ 可以趋近于 $+\infty$），不可能满足 $f(x)⩽\frac{1}{\mathrm{e}}$ 恒成立。 故 $k>0$ 不符合题意。

综上，实数 $k$ 的取值范围是 $\left[-\frac{1}{2},0\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：含参函数的导数求法、分类讨论单调区间、极值点在闭/开区间恒成立问题中的应用。
• 核心方法：
• 导数零点比较大小：根据 $k>0$ 与 $k<0$ 确定 $-k$ 和 $k$ 的相对位置；
• 恒成立问题转化：找到区间内最大值点（极大值点）列不等式求解。
• 避坑指南：
• $k$ 在分母上，必须明确 $k\ne 0$；
• 当 $k>0$ 时，务必注意到 $x\to +\infty$ 时指数函数的发散性，排除 $k>0$ 的可能。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自利用导数研究函数极值与最值的压轴大题模型。
• 结论推广：形如 $(x-a{)}^n{\mathrm{e}}^{bx}$ 的函数单调性可由导函数的二次多项式因子正负直接判定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2013-广东卷理-21 解-导数单调性
• 2013-浙江卷理-22 解-导数单调性与极值