2011-四川卷文-03 单-圆的一般方程

本题导读

本题考查圆的一般方程与标准方程。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 圆 $x^2+y^2-4x+6y=0$ 的圆心坐标是 ()

A. $(2,3)$　　　　B. $(-2,3)$　　　　C. $(-2,-3)$　　　　D. $(2,-3)$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：配方得 $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=13$
2. 步骤2：读出圆心

✅【答案】

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$(2,-3)$。选 \textbf{D}

✍【详细解析】

Abstract

配方：$x^2-4x+y^2+6y=0$，即 $(x-2{)}^2-4+(y+3{)}^2-9=0$， 得 $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=13$。 故圆心坐标为 $(2,-3)$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆心 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$。

核心方法：配方法或直接用一般方程圆心公式。

避坑指南：圆心横坐标 $-\frac{D}{2}=-\frac{-4}{2}=2$、纵坐标 $-\frac{E}{2}=-\frac{6}{2}=-3$，两项都要变号，只变一个号就掉进 A 或 C 的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的一般方程信息提取是解析几何入门题，2012 辽宁文 07 与本题同为圆心相关的基本运算。

结论推广：一般方程中 $D$、$E$ 的符号与圆心坐标相反，且半径 $r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$（需 $D^2+E^2>4F$）。

方法推广：见一般方程直接写圆心 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$，比配方快且可由半径公式互检。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁卷文-07 单-圆过圆心直线
• 2011-重庆卷文-13 填-直线与圆弦长
• 2012-广东卷文-08 单-直线与圆弦长