2011-四川卷文-07 单-正六边形向量和

本题导读

本题考查平面向量的加法，以及正六边形的几何性质。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 如图，正六边形 $ABCDEF$ 中，$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}=$ ()

A. $\vec{0}$　　　　　　　B. $\overrightarrow{BE}$　　　　　　　C. $\overrightarrow{AD}$　　　　　　　D. $\overrightarrow{CF}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：利用正六边形对边平行相等把三个向量逐段接力
2. 步骤2：化为 $\overrightarrow{CF}$

✅【答案】

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选 \textbf{D}

✍【详细解析】

Abstract

取正六边形中心 $O$ 为原点，设各顶点的位置向量分别为 $a$，$b$，$c$，$d$，$e$，$f$。 由正六边形的中心对称性，对径顶点的位置向量互为相反向量：$d=-a$，$e=-b$，$f=-c$。 于是 $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}=(a-b)+(d-c)+(f-e)$ $=(a-b)+(-a-c)+(-c+b)=-2c$。 又 $f=-c$，故 $-2c=f-c$，即原式 $=f-c=\overrightarrow{CF}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量加法的三角形法则；正六边形对边平行且相等、对径点关于中心对称。

核心方法：用「对边相等」把三个向量换成同向可接力的向量，或设中心为原点用对径点坐标消元。

避坑指南：正六边形中 $EF$ 的同向等向量是 $\overrightarrow{CB}$（不是 $\overrightarrow{BC}$）、$CD$ 的同向等向量是 $\overrightarrow{AF}$，方向配反一步出错；用中心对称时 $f=-c$ 的前提是把中心取为原点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正六边形向量加减是向量几何化的经典载体，2013 四川理 12、2011 重庆文 05 同练向量运算的几何化能力。

结论推广：一般结论：正六边形 $ABCDEF$ 中 $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}$ 恒等于「隔一个顶点的对角向量」$\overrightarrow{CF}$，对任意起点组合的同类和都有类似封闭结果。

方法推广：多向量求和首选「接力化简」：把每个向量平移到可首尾相接；正六边形背景先写对边相等与对径关系两条性质再动手。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-12 填-向量加法的平行四边形法则
• 2011-重庆卷文-05 单-向量共线与数量积
• 2012-四川卷文-05 单-向量数量积求正弦