2011-重庆卷文-05 单-向量共线与数量积

本题导读

本题考查向量共线的坐标条件，以及数量积的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 已知向量 $a=(1,k)$，$b=(2,2)$，且 $a+b$ 与 $a$ 共线，那么 $a\cdot b$ 的值为 ()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $(a+b)\parallel a$ 列坐标方程求 $k$
2. 步骤2：再算 $a\cdot b$

✅【答案】

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$4$。选 \textbf{D}

✍【详细解析】

Abstract

$a+b=(1+2,k+2)=(3,k+2)$。 由 $a+b$ 与 $a$ 共线，得 $3\cdot k-(k+2)\cdot 1=0$，即 $2k=2$，$k=1$。 于是 $a\cdot b=1\times 2+1\times 2=4$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量共线的坐标表示 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$；数量积的坐标公式 $a\cdot b=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

核心方法：坐标化 → 共线条件列方程求参 → 数量积公式收尾。

避坑指南：共线条件用交叉相减 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$，写成 $3k=k+2$ 时左边是 $3k$、右边是 $k+2$，把系数配反会解出 $k=-1$ 而误算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「共线求参 + 数量积」双步小题是向量板块的标准考法，2011 北京文 11、广东文 03 与本题同型。

结论推广：若 $a+b$ 与 $a$ 共线，则 $b$ 与 $a$ 也共线（都平行于 $a$），故也可由 $(2,2)=\lambda (1,k)$ 求 $k$，殊途同归。

方法推广：向量小题一律先坐标化，共线用叉乘为零、垂直用点乘为零，条件转换只需一行。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-11 填-向量共线求参
• 2011-广东卷文-03 单-向量共线求参
• 2012-浙江卷文-07 单-向量模与共线