2011-四川卷文-09 单-Sn型递推数列

本题导读

本题考查由前 $n$ 项和给出的递推关系，以及等比数列的判定。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_1=1$，$a_{n+1}=3S_n$（$n\ge 1$），则 $a_6=$ ()

A. $3\times 4^4$　　　　　B. $3\times 4^4+1$　　　　　C. $4^5$　　　　　D. $4^5+1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：由 $a_{n+1}=3S_n$ 作差得 $a_{n+2}=4a_{n+1}$（$n\ge 1$）
2. 步骤2：算出 $a_2=3$ 后按公比 $4$ 累乘

✅【答案】

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$3\times 4^4$。选 \textbf{A}

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_1=1$，$a_2=3S_1=3$。 当 $n\ge 1$ 时，$a_{n+1}=3S_n$；将 $n$ 换为 $n+1$：$a_{n+2}=3S_{n+1}$。 两式相减：$a_{n+2}-a_{n+1}=3a_{n+1}$，即 $a_{n+2}=4a_{n+1}$（$n\ge 1$）。 故从第 2 项起，$\{a_n\}$ 是首项 $3$、公比 $4$ 的等比数列。 于是 $a_6=3\cdot 4^{6-2}=3\cdot 4^4=768$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和式递推 $a_{n+1}=f(S_n)$ 的差分处理；等比数列通项 $a_n=a_2{q}^{n-2}$。

核心方法：相邻两条递推式相减消去 $S_n$ → 判定等比 → 注意首项与起始下标。

避坑指南：$a_1=1$ 不满足 $a_2=4a_1$（$3\ne 4$），等比关系从第 2 项才开始，通项须写 $a_n=3\cdot 4^{n-2}$（$n\ge 2$），误用 $a_6=3\cdot 4^5$ 或 $4^5$ 就落入 B、C 的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「$S_n$ 型递推」是数列小题主力题型，2012 四川文 20、2012 大纲卷文 18 与本题同为差分消和的手法。

结论推广：一般地，$a_{n+1}=k{S}_n$ 给出从第 2 项起公比 $k+1$ 的等比数列，且 $a_2=k{a}_1$；$a_1$ 是否纳入等比取决于 $a_2$ 与 $k{a}_1$ 是否相等。

方法推广：见 $a_{n+1}$ 与 $S_n$ 混合，立即「写两条、相减、消 $S$」，得到纯递推后务必单独验证首项是否兼容。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-四川卷文-20 解-由前n项和求通项与最值
• 2012-大纲卷文-18 解-Sn型递推求通项
• 2013-湖南卷文-19 解-Sn与an求和