2011-大纲卷理-16 填-立体几何

本题导读

本题考查正方体的几何性质，以及二面角的平面角。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 已知点 $E,F$ 分别在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱 $B{B}_1,C{C}_1$ 上，且 $B_{1}E=2EB$，$CF=2F{C}_1$，则面 $AEF$ 与面 $ABC$ 所成的二面角的正切值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设正方体棱长为 3 便于计算，根据比例求出 $EB$ 与 $CF$ 的长度。
2. 建立空间直角坐标系，写出点 $A,E,F$ 的坐标，求出平面 $AEF$ 的法向量。
3. 选取底面 $ABC$ 的法向量 $(0,0,1)$，求出两法向量夹角的余弦值，进而换算为正切值。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

不妨设正方体的棱长为 $3$。 以 $B$ 为坐标原点，分别以射线 $BC,BA,B{B}_1$ 为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正半轴建立空间直角坐标系。 由题设： $B_{1}E=2EB⟹EB=1$，则 $E(0,0,1)$； $CF=2F{C}_1⟹CF=2$，则 $F(3,0,2)$； 点 $A$ 在 $y$ 轴上，坐标为 $A(0,3,0)$。 底面 $ABC$ 即为 $xOy$ 平面，其法向量可取 ${\mathbf{n}}_1=(0,0,1)$。 求平面 $AEF$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2$： $\overrightarrow{AE}=(0-0,0-3,1-0)=(0,-3,1)$， $\overrightarrow{EF}=(3-0,0-0,2-1)=(3,0,1)$。 设 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$，则：

$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AE}=-3y+z=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{EF}=3x+z=0\end{array}$$

令 $z=3$，解得 $y=1$，$x=-1$。 故平面 $AEF$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(-1,1,3)$。 设面 $AEF$ 与面 $ABC$ 所成的二面角为 $\theta$（$\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$），则： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|3|}{1\times \sqrt{(-1{)}^2+1^2+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{11}}$。 由于 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{9}{11}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$， 所以： $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}}{\frac{3}{\sqrt{11}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。

故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二面角的平面角求解、法向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}$。
• 核心方法：空间坐标法设适当棱长整数化坐标。
• 避坑指南：最终所求为二面角的“正切值”而非“余弦值”，务必注意换算；二面角范围约定为锐角或直角时正切值为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：立体几何截面倾角计算模型，通过截线比例考查三维空间方位。
• 结论推广：若平面截直三棱柱/直四棱柱的侧棱所截高度分别为 $h_A,h_B,h_C$，可利用射影面积法 $S_{\text{射影}}=S\cos \theta$ 快速求二面角余弦。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1990-全国卷理-23 解-二面角的度数
• 1996-全国卷理-19
• 1996-全国卷理-22