2011-天津卷文-08 单-新定义运算零点

本题导读

本题考查函数的新定义运算，以及分段函数图象与交点个数。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 对实数 $a$ 和 $b$，定义运算"$\otimes$": $a\otimes b=\{\begin{array}{ll}a,& a-b⩽1,\\ b,& a-b>1.\end{array}$ 设函数 $f(x)=(x^2-2)\otimes (x-1)$，$x\in \mathrm{R}$.若函数 $y=f(x)-c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，则实数 $c$ 的取值范围是 ()

A. $(-1,1]\cup (2,+\infty )$　B. $(-2,-1]\cup (1,2]$　C. $(-\infty ,-2)\cup (1,2]$　D. $[-2,-1]$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：按 $a-b$ 与 $1$ 的大小写分段解析式
2. 步骤2：再按 $c$ 的范围数 $f(x)=c$ 的解

✅【答案】

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B$c\in (-2,-1]\cup (1,2]$

✍【详细解析】

Abstract

比较 $x^2-2$ 与 $x-1$：$x^2-2⩽x-1+1$ 等价于 $x^2-x-2⩽0$，即 $-1⩽x⩽2$。

故 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2,& -1⩽x⩽2,\\ x-1,& x<-1\text{ 或 }x>2.\end{array}$

抛物段上 $x^2-2=c$：$c\in [-2,-1]$ 时两解均落在 $[-1,2]$ 内（$c=-2$ 时重合为 $x=0$，一解）；$c\in (-1,2]$ 时仅正根 $x=\sqrt{c+2}$ 落在段内，一解；$c>2$ 无解。

直线段上 $x-1=c$：$x=c+1$，仅当 $c+1<-1$ 或 $c+1>2$ 即 $c<-2$ 或 $c>1$ 时是一解（$c=-2$ 时 $x=-1$ 不在直线段内）。

合计恰两解：$c\in (-2,-1]$（抛物段两解，$c=-1$ 时 $x=\pm 1$ 两解）或 $c\in (1,2]$（两段各一解）。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义运算的分段解析式；方程 $f(x)=c$ 的解的个数与参数范围

核心方法：先把新定义翻译为分段函数，再对每段按 $c$ 分类数解，最后取并集

避坑指南：边界点要逐一验证：$c=-2$ 时 $x=0$ 与 $x=-1$（后者不在直线段内）只有一解；$c=-1$ 时 $x=\pm 1$ 都在抛物段内，是两解；$c=2$ 时 $x=2$ 属抛物段且 $x=3$ 属直线段，两解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义与零点个数题与 2012-天津卷文-14、2011-北京卷文-13、2012-福建卷文-12 同族。

结论推广：推广：对分段函数 $f$，$f(x)=c$ 的解数等于各段解数之和；含端点的分段（闭区间段）在边界 $c$ 值处两段可能同时贡献或都失贡献，须逐点验证。

方法推广：新定义题：先”翻译”成常规分段函数并画草图；数解个数时对关键 $c$（各段端点值）逐一代验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-14 填-分段函数图象交点
• 2011-北京卷文-13 填-分段函数两根
• 2012-福建卷文-12 单-三次函数零点分布