2011-天津卷文-09 填-集合与整数交集

本题导读

本题考查绝对值不等式，以及集合与整数集的交集。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 已知集合 $A=\{x\in \mathrm{R}\mid |x-1|<2\}$，$\mathrm{Z}$ 为整数集，则集合 $A\cap \mathrm{Z}$ 中所有元素的和等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：解 $|x-1|<2$ 得 $-1<x<3$
2. 步骤2：取整数求和

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

由 $|x-1|<2$ 得 $-2<x-1<2$，即 $-1<x<3$，其中整数为 $0,1,2$。

故 $A\cap \mathrm{Z}=\{0,1,2\}$，所有元素的和为 $0+1+2=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式的解法；集合交集与整数点

核心方法：去绝对值得开区间，再取其中整数

避坑指南：$|x-1|<2$ 解出的是开区间，端点 $-1$ 与 $3$ 都不取；漏掉 $0$ 或误含端点都会错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合与整数交集题与 2013-天津卷文-01、2012-北京卷文-01、2012-安徽卷文-02 同族。

结论推广：推广：$|x-a|<r⟺a-r<x<a+r$；$(a-r,a+r)$ 内整数的个数当区间长为 $2r$ 时不超过 $2r$。

方法推广：绝对值不等式小题：先化为双不等式，再按整数点逐一清点求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-01 单-集合交集
• 2012-北京卷文-01 单-不等式与交集
• 2012-安徽卷文-02 单-交集与对数定义域