2011-安徽卷文-10 单-函数图象定指数

本题导读

本题考查函数图象的识别，以及导数与极值点。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 函数 $f(x)=a{x}^n(1-x{)}^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的图象如图所示，则 $n$ 可能是 ()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：求导得极值点 $x^{\ast }=\frac{n}{n+2}$
2. 步骤2：由图中峰位 $<0.5$ 定 $n=1$

✅【答案】

点击查看答案

A$n=1$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=a\left[n{x}^{n-1}(1-x{)}^2-2x^n(1-x)\right]=a{x}^{n-1}(1-x)\left[n(1-x)-2x\right]$。

在 $(0,1)$ 内驻点满足 $n(1-x)-2x=0$，即 $x^{\ast }=\frac{n}{n+2}$。

由图：峰值位置明显在 $x=0.5$ 左侧（约 $x\approx \frac{1}{3}$），且 $x^{\ast }=\frac{n}{n+2}$ 随 $n$ 增大而增大：$n=1$ 给 $\frac{1}{3}$，$n=2$ 已达 $\frac{1}{2}$。

故 $n=1$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：乘积函数的求导（因式分解提公因式）；极值点与图象峰位的对应；$x^{\ast }=\frac{n}{n+2}$ 的单调性

核心方法：“看图定参”的关键量取极值点横坐标：求导、因式分解出驻点，再把图中峰位与 $\frac{n}{n+2}$ 对照

避坑指南：四个选项只差 $n$，判别量是峰位而不是最大值——最大值 $0.5$ 还牵涉 $a$ 的取值（$n=1$ 时 $a=\frac{27}{8}$），无法直接锁定 $n$；$n⩾2$ 时 $x^{\ast }⩾\frac{1}{2}$，与图矛盾。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图象定参题与 2011-山东卷文-10、2011-新课标卷文-12、2011-江西卷文-10 同族。

结论推广：推广：$f(x)=a{x}^n(1-x{)}^m$ 在 $[0,1]$ 内的极值点为 $x^{\ast }=\frac{n}{n+m}$；图象题优先找”与参数直接相关”的可读量（峰位、零点重数、端点行为），把图形信息翻译成不等式或等式。

方法推广：由图定参三步：求导找驻点 $\to$ 从图读出驻点的大致范围 $\to$ 代入选项排除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-10 单-函数图象识别
• 2011-新课标卷文-12 单-周期函数图象交点
• 2011-江西卷文-10 单-凸轮滚动图象判断