2011-安徽卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的概念与纯虚数。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 设 $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1+ai}{2-i}$ 为纯虚数，则实数 $a$ 为 ()

A. 2　　　　　　　B. -2　　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 将复数化简为 $A+Bi$（$A,B\in \mathbb{R}$）的标准形式。
2. 令实部等于零且虚部不等于零，求出 $a$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： $\frac{1+ai}{2-i}=\frac{(1+ai)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{(2-a)+(1+2a)i}{5}$ 因为该复数为纯虚数，所以 $\{\begin{array}{l}2-a=0\\ 1+2a\ne 0\end{array}$ 解得 $a=2$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数代数形式的除法运算与纯虚数定义。
• 核心方法：分子分母同乘以分母的共轭复数。
• 避坑指南：必须检验虚部不等于0，防止误选导致实部虚部同为0的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自教材复数除法基础例题。
• 结论推广：若 $\frac{a+bi}{c+di}$（$c+di\ne 0$）为纯虚数，则 $ac+bd=0$ 且 $bc-ad\ne 0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭
• 2014-江苏卷-02 填-复数运算