2014-江苏卷-02 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算及基本概念。通过完全平方公式展开复数，并根据复数的定义识别其实部，属于基础运算题。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 已知复数 $z=(5+2i{)}^2$（$i$ 为虚数单位），则 $z$ 的实部为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数展开：利用完全平方公式 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ 对复数 $z$ 进行展开。
2. 化简运算：利用 $i^2=-1$ 将展开式整理为复数的代数形式 $a+bi$。
3. 识别实部：根据复数实部的定义，直接读出实数 $a$ 的值。

✅【答案】

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$21$

✍【详细解析】

Abstract

根据完全平方公式展开复数 $z$： $z=(5+2i{)}^2$ $z=5^2+2\times 5\times 2i+(2i{)}^2$ $z=25+20i+4i^2$ 因为 $i$ 为虚数单位，满足 $i^2=-1$，所以： $z=25+20i+4(-1)$ $z=25+20i-4$ $z=21+20i$ 在复数 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) 中，$a$ 称为复数的实部。 因此，复数 $z$ 的实部为 $21$。

故答案为 $21$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的四则运算（乘法、乘方）以及复数的标准形式。

2. 核心方法：直接计算法。将复杂的复数表达式化简为 $a+bi$ 的形式是解决复数概念类问题的通用步骤。

3. 避坑指南：在计算 $(2i{)}^2$ 时，务必注意系数也要平方，即 $(2i{)}^2=4i^2=-4$，不要误写为 $2i^2$ 或 $4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数的模 $|z|=\sqrt{21^2+20^2}=29$；共轭复数 $\bar{z}=21-20i$。

2. 结论推广: 对于复数 $(a+bi{)}^2$，其展开后的实部为 $a^2-b^2$，虚部为 $2ab$。

3. 方法推广: 直接计算法。将复杂的复数表达式化简为 $a+bi$ 的形式是解决复数概念类问题的通用步骤。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-湖南卷文-01 单-复数运算
• 2015-新课标II卷文-02 单-复数运算
• 2015-广东卷文-02 单-复数运算