2011-山东卷文-08 单-回归预报

本题导读

本题考查线性回归方程，以及回归预报。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 某产品的广告费用 $x$ 与销售额 $y$ 的统计数据如下表：

广告费用 $x$（万元）	$4$	$2$	$3$	$5$
销售额 $y$（万元）	$49$	$26$	$39$	$54$

根据上表可得回归方程 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ 中的 $\hat{b}$ 为 $9.4$，据此模型预报广告费用为 $6$ 万元时销售额为 ()

A. $63.6$ 万元　　B. $65.5$ 万元　　C. $67.7$ 万元　　D. $72.0$ 万元

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：回归直线过样本中心 $(\bar{x},\bar{y})$
2. 步骤2：先求 $\hat{a}$ 再预报

✅【答案】

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B$65.5$ 万元

✍【详细解析】

Abstract

$\bar{x}=\frac{4+2+3+5}{4}=\frac{7}{2}$，$\bar{y}=\frac{49+26+39+54}{4}=42$。

回归直线过样本中心 $(\bar{x},\bar{y})$：$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=42-9.4\times \frac{7}{2}=42-32.9=9.1$。

$x=6$ 时 $\hat{y}=9.4\times 6+9.1=65.5$（万元）。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：回归直线过样本中心点；回归预报

核心方法：由 $\bar{x},\bar{y}$ 与 $\hat{b}$ 反解 $\hat{a}$，再代 $x=6$ 预报

避坑指南：样本中心是 $(3.5,42)$；$\hat{a}=9.1$ 不是 $42$；预报时 $x=6$，系数 $9.4$ 别乘错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性回归题与 2013-重庆卷文-17、2012-福建卷文-18、2012-湖南卷文-05 同族。

结论推广：推广：$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$ 是回归直线”中心化”性质，任何回归题先算样本中心。

方法推广：回归小题：流程固定——均值 → 截距 → 代入预报；数据别抄错行。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-17 解-线性回归预测
• 2012-福建卷文-18 解-回归直线与利润最值
• 2012-湖南卷文-05 单-回归直线概念