2011-山东卷理-07 单-统计综合

本题导读

本题考查样本中心点性质，以及线性回归方程与预测。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 某产品的广告费用 $x$ 与销售额 $y$ 的统计数据如下表：

广告费用 $x$（万元）	4	2	3	5
销售额 $y$（万元）	49	26	39	54

根据上表可得回归方程 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ 中的 $\hat{b}$ 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ()

A. 63.6 万元　　B. 65.5 万元　　C. 67.7 万元　　D. 72.0 万元

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算变量 $x$ 和 $y$ 的样本平均数 $\overline{x}$ 与 $\overline{y}$。
2. 将样本中心点 $(\overline{x},\overline{y})$ 代入回归方程 $\hat{y}=9.4x+\hat{a}$，求出截距 $\hat{a}$。
3. 将 $x=6$ 代入回归方程计算预报值 $\hat{y}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

计算样本平均数： $\overline{x}=\frac{4+2+3+5}{4}=\frac{14}{4}=3.5$ $\overline{y}=\frac{49+26+39+54}{4}=\frac{168}{4}=42$ 因为回归直线必过样本中心点 $(\overline{x},\overline{y})=(3.5,42)$， 代入回归方程 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$（其中 $\hat{b}=9.4$）： $42=9.4\times 3.5+\hat{a}$ $42=32.9+\hat{a}⟹\hat{a}=42-32.9=9.1$ 因此回归方程为： $\hat{y}=9.4x+9.1$ 当广告费用 $x=6$ 万元时，销售额的预报值为： $\hat{y}=9.4\times 6+9.1=56.4+9.1=65.5\text{（万元）}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性回归方程恒过样本中心点 $(\overline{x},\overline{y})$。
• 核心方法：求均值 $\to$ 求截距 $\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$ $\to$ 代入预测值。
• 避坑指南：计算四数之和与求平均数时细心核对，避免把 $\overline{y}$ 算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修三统计中线性回归模型与最小二乘法估计的常规标准考题。
• 结论推广：对所有线性回归问题，$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$ 是唯一确定回归截距的不变法则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-11 单-线性回归比较
• 2013-重庆卷文-17 解-线性回归预测
• 2012-新课标卷文-03 单-样本相关系数