2011-山东卷理-14 填-定积分

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 若 ${\left(x-\frac{\sqrt{a}}{x^2}\right)}^6$ 展开式的常数项为 60，则常数 $a$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_6^r{x}^{6-r}{\left(-\frac{\sqrt{a}}{x^2}\right)}^r$。
2. 合并 $x$ 的指数，令指数为 0 确定常数项对应的 $r$。
3. 令常数项系数等于 60，求解实数 $a$。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

二项展开式的通项为： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r{x}^{6-r}{\left(-\frac{\sqrt{a}}{x^2}\right)}^r=(-1{)}^r{\text{C}}_6^r(\sqrt{a}{)}^r{x}^{6-3r}$ 令 $6-3r=0$，解得 $r=2$。 此时常数项为： $T_3=(-1{)}^2{\text{C}}_6^2(\sqrt{a}{)}^2={\text{C}}_6^{2}a=15a$ 已知展开式的常数项为 60，所以： $15a=60⟹a=4$ 故答案为：4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项展开式通项 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的指数化简。
• 核心方法：通项化简后令 $x$ 的幂次为 0。
• 避坑指南：注意通项中的负号 $(-1{)}^r$ 及 $(\sqrt{a}{)}^2=a$（题干隐含 $a>0$），计算组合数 ${\text{C}}_6^2=15$ 需准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修2-3二项式定理常数项求解的标准基础训练题。
• 结论推广：对 ${\left(A{x}^p+B{x}^{-q}\right)}^n$，常数项存在充要条件为 $p+q$ 整除 $np$，此时 $r=\frac{np}{p+q}$。

🔗【关联脉络】

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