2011-广东卷文-03 单-向量共线求参

本题导读

本题考查向量的坐标运算，以及向量共线的坐标条件。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 已知向量 $\mathbf{a}=(1,2)$，$\mathbf{b}=(1,0)$，$\mathbf{c}=(3,4)$. 若 $\lambda$ 为实数，$(\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b})\parallel \mathbf{c}$，则 $\lambda =$ ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：算出 $\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}$ 的坐标
2. 步骤2：用 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 解 $\lambda$

✅【答案】

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B$\lambda =\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}=(1+\lambda ,2)$。

由 $(1+\lambda ,2)\parallel (3,4)$，坐标交叉相乘相等：$4(1+\lambda )-3\times 2=0$。

$4+4\lambda -6=0$，$\lambda =\frac{1}{2}$，选 B。

验：$\lambda =\frac{1}{2}$ 时 $\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}=\left(\frac{3}{2},2\right)$，与 $(3,4)$ 恰为 $\frac{1}{2}$ 倍关系，共线成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量加法的坐标运算；共线向量定理的坐标表示

核心方法：先做坐标加法，再用交叉相乘（$x_1{y}_2=x_2{y}_1$）解参数

避坑指南：交叉相乘写对方向：$x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$，即 $4(1+\lambda )=3\times 2$——写成 $3(1+\lambda )=4\times 2$ 会解出 $\frac{5}{3}$ 的错误值；解出后代回看比例关系可自检。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量共线求参题与 2011-北京卷文-11、2012-浙江卷文-07、2015-四川卷文-02 同族。

结论推广：推广：$(x_1,y_1)\parallel (x_2,y_2)⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$；若两向量均非零，等价于坐标成比例 $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$（分母非零时）。

方法推广：共线求参小题：坐标化 + 交叉乘一气呵成，最后用”倍数关系”目验一遍。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-11 填-向量共线求参
• 2012-浙江卷文-07 单-向量模与共线
• 2015-四川卷文-02 单-向量共线