2011-新课标卷文-20 解-圆的方程与垂直条件

本题导读

本题考查圆的一般方程，以及韦达定理与垂直条件。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $y=x^2-6x+1$ 与坐标轴的交点都在圆 $C$ 上.

(1) 求圆 $C$ 的方程；

(2) 若圆 $C$ 与直线 $x-y+a=0$ 交于 $A,B$ 两点，且 $OA\perp OB$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 由 $x$ 轴交点的和与积读出 $D,F$
2. 步骤2：代入 $(0,1)$ 定 $E$
3. 步骤3：(2) 代入直线用韦达定理
4. 步骤4：$OA\perp OB⟺2x_1{x}_2+a(x_1+x_2)+a^2=0$

✅【答案】

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(1) $x^2+y^2-6x-2y+1=0$

(2) $a=-1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）曲线与 $y$ 轴的交点为 $(0,1)$，与 $x$ 轴的交点横坐标满足 $x^2-6x+1=0$。

设圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。圆与 $x$ 轴的两个交点横坐标的和、积分别为 $6$、$1$，所以 $D=-6$，$F=1$。代入点 $(0,1)$，得 $1+E+1=0$，即 $E=-2$。因此

$C:x^2+y^2-6x-2y+1=0$。

（2）将 $y=x+a$ 代入圆 $C$，得 $2x^2+(2a-8)x+(a-1{)}^2=0$。

设交点 $A$，$B$ 的横坐标分别为 $x_1$，$x_2$，则由韦达定理，$x_1+x_2=4-a$，$x_1{x}_2=\frac{(a-1{)}^2}{2}$。

由 $OA\perp OB$，有 $0=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+(x_1+a)(x_2+a)=2x_1{x}_2+a(x_1+x_2)+a^2=(a-1{)}^2+a(4-a)+a^2=(a+1{)}^2$。

所以 $a=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次曲线与坐标轴交点的韦达读数；圆的一般方程；$OA\perp OB$ 的坐标化

核心方法：$x$ 轴交点的和积直接给出 $D,F$，省去解根；(2) 用 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ 展开成关于 $a$ 的完全平方

避坑指南：垂直条件化简后为 $(a+1{)}^2=0$，$a=-1$ 是唯一解且此时判别式 $\Delta =(2a-8{)}^2-8(a-1{)}^2=100-0>0$，确有两交点；解出 $a$ 后应检验交点存在性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的方程与垂直弦题，与 2013 年新课标Ⅱ文第 20 题、2013 年江苏卷第 17 题同族。

结论推广：“曲线与坐标轴交点共圆”可用圆的一般方程直接读系数；$OA\perp OB$（$O$ 为原点）对直线 $y=x+a$ 上的交点恒等式化为 $(a+1{)}^2=0$ 型完全平方。

方法推广：圆与直线综合：设一般式用交点和积定系数 → 联立韦达 → 把几何条件（垂直/面积）翻译成 $x_1+x_2,x_1{x}_2$ 的方程 → 求参并检验判别式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-20 解-圆的方程与轨迹
• 2013-江苏卷-17 解-圆的方程
• 2013-四川卷文-20 解-直线与圆韦达