2011-江苏卷-03 填-复数方程与实部

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的实部与虚部。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 设复数 $z$ 满足 $\mathrm{i}(z+1)=-3+2\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 是虚数单位），则 $z$ 的实部是　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：两边同乘 $-\mathrm{i}$（即除以 $\mathrm{i}$）直接解出 $z$

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\mathrm{i}(z+1)=-3+2\mathrm{i}$，两边同乘 $-\mathrm{i}$（利用 $\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$），得

$z+1=(-3+2\mathrm{i})(-\mathrm{i})=3\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2=2+3\mathrm{i}$。

所以 $z=2+3\mathrm{i}-1=1+3\mathrm{i}$，其实部为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法（$\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$）；复数的实部概念

核心方法：两边同乘 $-\mathrm{i}$ 消去左边的 $\mathrm{i}$，再移项解出 $z$

避坑指南：等式左边是 $\mathrm{i}(z+1)$ 而不是 $\mathrm{i}z$，解出 $z+1$ 后必须再减 $1$，漏减会错答实部 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数方程与实部概念题，与 2013 年江苏卷第 2 题、2014 年江苏卷第 2 题、2018 年江苏卷第 2 题同族。

结论推广：一阶线性复数方程 $az+b=c$（$a\ne 0$）有唯一解 $z=\frac{c-b}{a}$。

方法推广：复数小题先把方程化为 $z=\cdots$ 的形式，再用 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 与共轭技巧化简，最后按实部虚部读数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-02 填-复数运算
• 2014-江苏卷-02 填-复数运算
• 2018-江苏卷-02 填-复数运算