2011-江苏卷-05 填-古典概型两倍关系

本题导读

本题考查古典概型。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 从 $1$，$2$，$3$，$4$ 这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：列举基本事件总数与目标事件数
2. 步骤2：套用古典概型公式

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

从 $1,2,3,4$ 中一次随机取两个数，所有基本事件为

$\{1,2\}$，$\{1,3\}$，$\{1,4\}$，$\{2,3\}$，$\{2,4\}$，$\{3,4\}$，共 $6$ 种。

其中满足”一个数是另一个的两倍”的事件有 $\{1,2\}$（$2=2\times 1$）与 $\{2,4\}$（$4=2\times 2$），共 $2$ 种。

故所求概率 $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型公式 $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}$；列举计数

核心方法：直接列举法：先列全基本事件，再数出目标事件

避坑指南：“一次取两个数”无顺序之分；$\{1,4\}$ 是四倍关系而不是两倍关系，误算入会得 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型列举题，与 2012 年江苏卷第 6 题、2013 年江苏卷第 7 题、2014 年江苏卷第 4 题同族。

结论推广：从 $\{1,2,\cdots ,2n\}$ 中任取两数，成两倍关系的数对恰有 $n$ 对，概率为 $\frac{n}{{\mathrm{C}}_{2n}^2}=\frac{1}{2n-1}$。

方法推广：古典概型题先确定样本空间是否有序，再用列举或组合数求总数，最后核对目标事件有没有多算、漏算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-06 填-等比数列与古典概型
• 2013-江苏卷-07 填-古典概型
• 2014-江苏卷-04 填-古典概型