2011-江苏卷-07 填-正切和角与二倍角

本题导读

本题考查两角和的正切公式，以及二倍角的正切公式。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 已知 $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2$，则 $\frac{\tan x}{\tan 2x}$ 的值为　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由和角公式解出 $\tan x$
2. 步骤2：再把目标式整体化为 $\frac{1-{\tan }^{2}x}{2}$ 代入

✅【答案】

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$\frac{4}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

由两角和的正切公式：

$\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan x+1}{1-\tan x}=2$，去分母得 $\tan x+1=2-2\tan x$，解得 $\tan x=\frac{1}{3}$。

由二倍角公式 $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$，得

$\frac{\tan x}{\tan 2x}=\frac{1-{\tan }^{2}x}{2}$。

代入 $\tan x=\frac{1}{3}$，得 $\frac{\tan x}{\tan 2x}=\frac{1-\frac{1}{9}}{2}=\frac{4}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和的正切公式；二倍角正切公式的变形

核心方法：先整体化简目标式 $\frac{\tan x}{\tan 2x}=\frac{1-{\tan }^{2}x}{2}$，再代入数值，避免提前通分

避坑指南：和角公式分子是 $\tan x+\tan \frac{\pi }{4}$、分母是 $1-\tan x\tan \frac{\pi }{4}$，加减号记混会解出错误的 $\tan x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换求值题，与 2012 年江苏卷第 11 题同族。

结论推广：对任意使 $\tan 2x$ 有意义的 $x$，恒有 $\frac{\tan x}{\tan 2x}=\frac{1-{\tan }^{2}x}{2}$。

方法推广：三角求值题优先做”目标式整体化简”，把含 $\tan x$ 与 $\tan 2x$ 的比值先化为单变量表达式，再代值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.05 正切恒等式

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-11 填-三角恒等变换求值