2011-江西卷文-08 单-线性回归方程求法

本题导读

本题考查线性回归方程，以及回归系数与截距的最小二乘估计。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 $5$ 对父子的身高数据如下：

父亲身高 $x$（cm）	$174$	$176$	$176$	$176$	$178$
儿子身高 $y$（cm）	$175$	$175$	$176$	$177$	$177$

则 $y$ 对 $x$ 的线性回归方程为 ()

A. $y=x-1$　　　　B. $y=x+1$　　　　C. $y=88+\frac{1}{2}x$　　　　D. $y=176$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：求 $\bar{x}=176$
2. 步骤2：$\bar{y}=176$
3. 步骤3：由回归直线过 $(\bar{x},\bar{y})$ 与斜率估计值 $\hat{b}=\frac{1}{2}$ 定方程

✅【答案】

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C$y=88+\frac{1}{2}x$

✍【详细解析】

Abstract

$\bar{x}=\frac{174+176+176+176+178}{5}=176$，$\bar{y}=\frac{175+175+176+177+177}{5}=176$。

$\hat{b}=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$：$x$ 的偏差为 $-2,0,0,0,2$，$y$ 的偏差为 $-1,-1,0,1,1$。

分子 $=(-2)(-1)+0+0+0+2\times 1=4$；分母 $=4+4=8$，故 $\hat{b}=\frac{1}{2}$。

$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=176-88=88$。

回归方程 $y=88+\frac{1}{2}x$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：回归系数 $\hat{b}$ 的最小二乘公式；回归直线过样本中心 $(\bar{x},\bar{y})$

核心方法：先算两组均值，再用偏差积和与偏差平方和之比定 $\hat{b}$，最后用 $(\bar{x},\bar{y})$ 定 $\hat{a}$

避坑指南：回归直线必过 $(\bar{x},\bar{y})=(176,176)$——把该点代入各选项即可快速排除（A 过 $(176,175)$、B 过 $(176,177)$、C 过 $(176,176)$、D 是常数不随 $x$ 变），比硬套公式快；偏差和为零可用来验算 $\bar{x}$，$\bar{y}$ 没算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：回归方程求解题与 2014-重庆卷理-03、2013-重庆卷文-17、2011-辽宁卷文-14 同族。

结论推广：推广：$\hat{b}=\frac{\sum x_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2-n{\bar{x}}^2}$ 与 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$ 等价；数据围绕直线波动对称时 $\hat{b}$ 的分数形式（如 $\frac{1}{2}$）常可直接从偏差结构看出。

方法推广：回归小题：优先用”过样本中心”检验选项，再用偏差结构估斜率；数据少时列表算偏差最快。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-03 单-线性回归方程
• 2013-重庆卷文-17 解-线性回归预测
• 2011-辽宁卷文-14 填-回归系数实际意义