2011-江西卷理-12 填-几何概型

本题导读

本题考查几何概型，以及对立事件概率。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 $\frac{1}{2}$，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 $\frac{1}{4}$，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解“不在家看书”为“去看电影”或“去打篮球”两互斥事件的并集。
2. 分别求出两个事件对应的几何区域面积（圆与圆环）。
3. 求两个区域面积和与单位圆总面积的比值。

✅【答案】

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$\frac{13}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

单位圆的总面积为：$S_{\text{总}}=\pi \times 1^2=\pi$。 设投掷点到圆心的距离为 $r$。 由题意，“不在家看书”即该点落在“$r>\frac{1}{2}$”或“$r<\frac{1}{4}$”的区域内：

• 点到圆心距离小于 $\frac{1}{4}$ 的区域为以原点为圆心、半径为 $\frac{1}{4}$ 的小圆，其面积为： $S_1=\pi {\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{\pi }{16}$
• 点到圆心距离大于 $\frac{1}{2}$ 的区域为内径 $\frac{1}{2}$、外径 $1$ 的圆环，其面积为： $S_2=\pi \times 1^2-\pi {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3\pi }{4}$ 两区域互斥，故“不在家看书”的总面积为： $S=S_1+S_2=\frac{\pi }{16}+\frac{3\pi }{4}=\frac{13\pi }{16}$ 由几何概型公式，所求概率为： $P=\frac{S}{S_{\text{总}}}=\frac{\frac{13\pi }{16}}{\pi }=\frac{13}{16}$ 故答案为：$\frac{13}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：面积型几何概型。
• 核心方法：利用面积之比求解，或先求“在家看书”的环形面积 $S^{\prime }=\pi {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\pi {\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{3\pi }{16}$，再用对立事件 $P=1-\frac{3}{16}=\frac{13}{16}$ 计算更简捷。
• 避坑指南：题目问的是“不在家看书”的概率，切勿误算成“在家看书”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：课本中几何概型（以面积为测度）与同心圆靶心投掷模型的直接应用。
• 结论推广：两同心圆半径分别为 $r_1<r_2⩽R$，则落在圆环内的概率公式为 $P=\frac{r_2^2-r_1^2}{R^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-11 填-几何概型
• 2013-陕西卷理-05 单-面积类几何概型
• 2009-山东卷理-11