2011-江西卷理-18 解-数列综合

本题导读

本题考查等比数列的定义与通项公式。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)）已知两个等比数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ ，满足 $a_{1} = a (a > 0)$ ， $b_{1} - a_{1} = 1$ ， $b_{2} - a_{2} = 2$ ， $b_{3} - a_{3} = 3$ .

(1) 若 $a = 1$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2) 若数列 ${a_{n}}$ 唯一，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

设等比数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的公比分别为 $q, p$ ，由已知建立关于 $p, q$ 的方程组。

消去公比 $p$ ，整理得到关于公比 $q$ 的二次方程 $a q^{2} - 4 a q + 3 a - 1 = 0$ 。

对 (1)，代入 $a = 1$ 解关于 $q$ 的二次方程，求出通项公式。

对 (2)，结合等比数列公比 $q \neq = 0$ 的定义要求，讨论方程解的个数，确定数列唯一时参数 $a$ 的取值。

✅【答案】

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(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $p$ 。由题意可知： $a_{1} = a$ ， $a_{2} = a q$ ， $a_{3} = a q^{2}$ 。由 $b_{1} - a_{1} = 1$ 得： $b_{1} = a + 1$ 。因为 ${b_{n}}$ 为等比数列，所以 $b_{2} = (a + 1) p$ ， $b_{3} = (a + 1) p^{2}$ 。代入已知条件可得： ${(a + 1) p - a q = 2 (a + 1) p^{2} - a q^{2} = 3 (1) (2)$ 由 ① 式得： $(a + 1) p = a q + 2$ ，代入 ② 式得： $\frac{( a q + 2 ) ^{2}}{a + 1} - a q^{2} = 3$ 整理去分母得： $(a q + 2)^{2} - (a + 1) (a q^{2} + 3) = 0$ 展开并化简： $a^{2} q^{2} + 4 a q + 4 - (a^{2} q^{2} + a q^{2} + 3 a + 3) = 0$ $- a q^{2} + 4 a q - 3 a + 1 = 0$ 即： $a q^{2} - 4 a q + 3 a - 1 = 0 (3)$

(1) 当 $a = 1$ 时，方程 ③ 为： $q^{2} - 4 q + 2 = 0$ 解得： $q = 2 \pm 2$ 因为 $a_{1} = 1$ ，所以数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为： $a_{n} = (2 + 2)^{n - 1} 或 a_{n} = (2 - 2)^{n - 1}$

(2) 因为 $a > 0$ ，所以方程 ③ 是关于 $q$ 的一元二次方程。其判别式为： $Δ = (- 4 a)^{2} - 4 a (3 a - 1) = 16 a^{2} - 12 a^{2} + 4 a = 4 a^{2} + 4 a = 4 a (a + 1)$ 由于 $a > 0$ ，故 $Δ > 0$ 恒成立，方程 ③ 恒有两个不相等的实数根。又由等比数列定义可知，公比 $q \neq = 0$ 且各项不为 0。若数列 ${a_{n}}$ 唯一，则方程 ③ 必有一个实根为 $0$ ，另一个实根非零。将 $q = 0$ 代入方程 ③ 得： $3 a - 1 = 0 ⟹ a = \frac{1}{3}$ 此时方程 ③ 为： $\frac{1}{3} q^{2} - \frac{4}{3} q = 0 ⟹ q^{2} - 4 q = 0$ 解得 $q = 0$ （舍去）或 $q = 4$ 。当 $q = 4, a = \frac{1}{3}$ 时，代入 ① 式得： $(\frac{1}{3} + 1) p = \frac{1}{3} \times 4 + 2 ⟹ \frac{4}{3} p = \frac{10}{3} ⟹ p = \frac{5}{2} \neq = 0$ 满足等比数列 ${b_{n}}$ 的要求。综上，若数列 ${a_{n}}$ 唯一，则 $a = \frac{1}{3}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项性质、二元消元法与二次方程求根。

核心方法：

设公比建立方程组，代入消元法消去 $p$ 获得关于 $q$ 的一元二次方程；

挖掘数列本质属性进行解的排他性筛选。

避坑指南：

容易误认为 $Δ = 0$ 是方程有唯一解的唯一条件，因 $a > 0$ 时 $Δ = 4 a^{2} + 4 a > 0$ 恒成立而无从下手；

必须牢记教材中等比数列各项及公比恒不为零（ $q \neq = 0$ ）的前提，从而通过“一根为0被舍去”实现唯一性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列通项基本量求解的变形题，融入二次方程根的分布与存在性分析。

结论推广：对于含参方程由实际背景决定解的唯一性时，若判别式恒正，往往伴随定义域约束导致的虚假根被剔除。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比

2013-江西卷理-03 单-等比中项

2014-新课标II卷理-17 解-等比数列定义与通项公式

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