2014-新课标II卷理-17 解-等比数列定义与通项公式

本题导读

本题是数列综合大题。第一问考查通过构造辅助数列证明等比数列并求通项公式；第二问考查数列前 $n$ 项和的不等式证明，核心技巧是利用放缩法将原数列转化为易求和的等比数列。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n+1$.

(1) 证明 $\{a_n+\frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}<\frac{3}{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：构造等比数列
   • 证明定义：通过递推式 $a_{n+1}=3a_n+1$ 变形，构造出 $\frac{a_{n+1}+\frac{1}{2}}{a_n+\frac{1}{2}}$ 为常数的形式。
   • 求通项：由等比数列定义写出辅助数列 $\{a_n+\frac{1}{2}\}$ 的通项，进而得到 $a_n$ 的表达式。
2. 第二问：不等式证明
   • 观察通项：由第一问得 $\frac{1}{a_n}=\frac{2}{3^n-1}$。
   • 执行放缩：分母 $3^n-1$ 与 $3^n$ 接近，由于 $3^n-1>\frac{2}{3}\cdot 3^n$（或其他比例），可将其放大为项数清晰的等比数列。本题常用放缩：当 $n\ge 2$ 时，$3^n-1>3^n-3^{n-1}=2\cdot 3^{n-1}$。
   • 求和验证：利用等比数列求和公式计算放缩后的上限，与 $\frac{3}{2}$ 进行比较。

✅【答案】

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第 (1) 小题：证明等比数列并求通项；$a_n=\frac{3^n-1}{2}$；第 (2) 小题：证明不等式

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：证明等比数列并求通项 证明：因为 $a_{n+1}=3a_n+1$， 所以 $a_{n+1}+\frac{1}{2}=3a_n+1+\frac{1}{2}=3a_n+\frac{3}{2}=3(a_n+\frac{1}{2})$。 由于 $a_1=1$，则 $a_1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\ne 0$， 所以 $\frac{a_{n+1}+\frac{1}{2}}{a_n+\frac{1}{2}}=3$（常数）。 故数列 $\{a_n+\frac{1}{2}\}$ 是以 $\frac{3}{2}$ 为首项， $3$ 为公比的等比数列。

由等比数列通项公式得： $a_n+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\times 3^{n-1}=\frac{3^n}{2}$ 所以 $\{a_n\}$ 的通项公式为：$a_n=\frac{3^n-1}{2}$。

第 (2) 小题：证明不等式 由 (1) 知 $\frac{1}{a_n}=\frac{2}{3^n-1}$。 当 $n=1$ 时，$\frac{1}{a_1}=1<\frac{3}{2}$，不等式成立。 当 $n\ge 2$ 时，由于 $3^n-1>3^n-3^{n-1}=2\cdot 3^{n-1}$， 则 $\frac{1}{a_n}=\frac{2}{3^n-1}<\frac{2}{2\cdot 3^{n-1}}=\frac{1}{3^{n-1}}$。 （注：此处也可以采用更紧确的放缩，如 $\frac{2}{3^n-1}\le \frac{2}{3^n-3^0}$ 或直接利用等比求和性质）

设 $S_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}$， 则 $S_n<1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{3^{n-1}}$。 右边为等比数列求和： $S_n<\frac{1\cdot (1-(\frac{1}{3}{)}^n)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}(1-\frac{1}{3^n})$ 因为 $1-\frac{1}{3^n}<1$， 所以 $S_n<\frac{3}{2}$。 综上所述，对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，原不等式均成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：构造辅助数列证明等比数列、数列求和不等式的放缩。

2. 核心方法：构造辅助数列 $a_{n+1}+\lambda =p(a_n+\lambda )$ 求通项，再放缩转化为可求和的等比数列。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 递推式 $a_{n+1}=p{a}_n+q$ 的构造法、等比数列求和放缩。

2. 结论推广: 对 $a_{n+1}=p{a}_n+q$，构造 $a_{n+1}+\lambda =p(a_n+\lambda )$（$\lambda =\frac{q}{p-1}$）转化为等比。

3. 方法推广: 面对递推式中含有 $n$ 的函数，如 $a_{n+1}=3a_n+n$，构造方式会变为 $a_{n+1}+f(n+1)=3(a_n+f(n))$。 6. 知识关联: 本题体现了从局部（项）到整体（和）的数学分析过程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-06 单-等比数列定义与公比
• 2013-辽宁卷理-14 填-等比数列通项
• 2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项