2011-浙江卷文-10 单-极值点与函数图象

本题导读

本题考查导数与极值点，以及二次函数的图象与零点。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 设函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$（$a$，$b$，$c\in \mathrm{R}$）.若 $x=-1$ 为函数 $y=f(x)e^x$ 的一个极值点，则下列图象不可能为 $y=f(x)$ 图象的是 ()

A. 　　　　　　　　　B. 　　　　　　　　　C. 　　　　　　　　　D.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$g=f\cdot e^x$ 在 $x=-1$ 取极值 $\Rightarrow f^{\prime }(-1)+f(-1)=0\Rightarrow c=a$
2. 步骤2：再用根与系数关系排除 D

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

令 $g(x)=f(x)e^x$，则 $g^{\prime }(x)=e^x\left(f^{\prime }(x)+f(x)\right)$。

由 $x=-1$ 为极值点：$g^{\prime }(-1)=0$，即 $f^{\prime }(-1)+f(-1)=0$。

$f^{\prime }(x)=2ax+b$，代入：$(-2a+b)+(a-b+c)=c-a=0$，故 $c=a$，即 $f(x)=a{x}^2+bx+a$。

当 $f$ 有两零点 $x_1$，$x_2$ 时，$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=1$。

选项 D 的图象开口向上（$a>0$），且两个零点都在 $-1$ 的左侧：$x_1<-1$，$x_2<-1$，则 $x_1{x}_2>1$（两数均小于 $-1$，同号相乘且绝对值均大于 $1$），与 $x_1{x}_2=1$ 矛盾。

故选项 D 的图象不可能，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：乘积函数求导；极值点的必要条件；韦达定理与图象特征

核心方法：”$f\cdot e^x$ 的极值点”化成 $f^{\prime }+f=0$ 的方程，先挖出 $c=a$ 的约束，再用零点关系筛图象

避坑指南：$g^{\prime }(x)=e^x(f^{\prime }(x)+f(x))$，别漏掉乘积法则里的 $f(x)e^x$ 项；“两零点都在 $-1$ 左侧”$\Rightarrow x_1{x}_2>1$ 用的是同号两数绝对值都大于 $1$，若开口向下（$a<0$）则两零点之积仍为 $1$，但图象特征不同——D 的矛盾只对”开口向上 + 双根在左”成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数极值点题与 2013-湖北卷文-10、2012-陕西卷文-09、2013-福建卷文-12 同族。

结论推广：推广：$f(x)e^x$ 型函数的极值点只由 $f^{\prime }+f=0$ 决定；特别地 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 给出 $f(-1)=f^{\prime }(-1)$ 的约束 $c=a$，抛物线族 $a(x^2+1)+bx$ 过定点 $(0,a)$ 结构。

方法推广：图象不可能题：先由代数约束（$c=a$）得到”任何可行图象必须满足的量”（如 $x_1{x}_2=1$），再用图象特征（零点位置）找矛盾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-10 单-对数函数极值点
• 2012-陕西卷文-09 单-导数极值点
• 2013-福建卷文-12 单-极值点迁移