2011-湖北卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及虚数单位的周期性。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)）

$\mathrm{i}$ 为虚数单位，则 ${\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)}^{2011}=$ ()

A. $-\mathrm{i}$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $\mathrm{i}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 分子分母同乘共轭复数化简底数 $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$。
2. 利用 ${\mathrm{i}}^n$ 以 4 为周期的性质计算幂次。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i}{)}^2}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{2\mathrm{i}}{2}=\mathrm{i}$， 且 $2011=4\times 502+3$， 所以 ${\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)}^{2011}={\mathrm{i}}^{2011}={\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$. 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数代数形式的除法与乘方运算；虚数单位的周期性 ${\mathrm{i}}^{4k+r}={\mathrm{i}}^r$ ($r\in \{0,1,2,3\}$).
• 核心方法：先底数化简，再指数降次.
• 避坑指南：熟记常用结论 $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\mathrm{i}$ 与 $\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$，防止运算失误.

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源： 源于复数代数运算与单位根群性质，考查基础代数运算能力。

• 结论推广： 对于任意整数 $n$，${\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)}^n={\mathrm{i}}^n$；更一般地，${\left(\frac{\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta }{\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta }\right)}^n=\cos (2n\theta )+\mathrm{i}\sin (2n\theta )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-四川卷理-01 单-虚数单位周期性
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭